Adjoint functors

“Adjunction” přeadresuje tady. Pro stavbu v teorii pole, vidět Adjunction (postaví teorii).

V matematice, adjoint functors jsou páry functors, které stojí ve zvláštním vztahu spolu navzájem, volal adjunction. Vztah adjunction je všudypřítomný v matematice, jako to pečlivě odráží intuitivní ponětí o optimalizaci a efektivitu. To je studováno ve všeobecnosti odvětvím matematiky známé jako teorie kategorie, který pomáhá minimalizovat opakování stejných logických detailů odděleně v každém předmětu.

V nejvýstižnější symmetric definici, adjunction mezi kategoriemi C a D je pár functors,

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem Adjoint functors. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

a rodina bijections

který je přirozený v proměnných X a Y. functor F je nazýván vlevo adjoint functor, zatímco G je nazýván pravým adjoint functor. Vztah “F je zanechal adjoint G” (nebo equivalently, “G má pravdu adjoint k F”) je někdy psán

Tato definice a jiní jsou děláni přesný dole.

Úvod

“Slogan je “Adjoint functors vyvstávají všude”.” (Saunders Mac Lane, kategorie pro pracovního matematika)

Dlouhý seznam příkladů v tomto článku je jen částečné znamení jak často zajímavá matematická stavba je adjoint functor. Jako výsledek, teorémy generála o levém/pravém adjoint functors, takový jako rovnocennost jejich různých definic nebo fakt to oni příslušně hájemství colimits/vymezí (který být také nalezený v každé oblasti matematiky), moci zakódovat detaily mnoho užitečný a jinak non-triviální výsledky.

Motivace

Jeden dobrý způsob, jak motivovat adjoint functors má nejasně vysvětlit jaký problém, který oni řeší a jak oni řeší to. (tato motivace provozuje podobnost k definicím přes univerzální morphisms dole.)

Adjoint functors jak formulaic řešení úloh optimalizace

To může být říkáno adjoint functor je způsob, jak dávat nejvíce účinné řešení nějakého problému přes metodu, která je formulaic. Například, základní problém v teorii prstenu je jak otočit rng (který je jako prsten, který by nemohl mít multiplikativní identitu) do prstenu. Nejvíce účinná cesta má sousedit s elementem ' 1 ' k rng, sousedit s žádnými zbytečnými zvláštními elementy (my budeme potřebovat mít r + 1 pro každého r v kruhu, jasně), a uložit žádné vztahy v nově tvořeném prstenu to být nepřinucený axiómy. Navíc, tato stavba je formulaic v pocitu, že to pracuje v nezbytně stejná cesta pro některého rng.

Toto je poněkud nejasné, ačkoli podnětný, a moci být dělán přesný v jazyce teorie kategorie: stavba je nejúčinnější jestliže to uspokojí univerzální vlastnictví, a formulaic jestliže to definuje functor. Univerzální vlastnosti vejdou do dvou typů: parafovat vlastnosti a vlastnosti terminálu. Protože tito jsou dvojí (protější) pojmy, to je jen nutné diskutovat o jednom z nich.

Myšlenka na využití počáteční vlastnosti má připravit problém v podmínkách nějaké pomocné kategorie E, a pak poznat to co my chceme je objevit počáteční objekt E. Toto má výhodu, že optimalizace — smysl, který my najdeme nejúčinnější řešení — znamená něco pečlivý a je rozeznatelný, spíše jako dosažení supremum. Vybírat si pravou kategorii E je něco zručnosti: například, vzít dané rng R, a dělat kategorii E jehož objekty jsou homomorphisms rng R ? S, s S prsten mít multiplikativní identitu. morphisms v E být komutativní trojúhelníky formy (R ? S₁,R ? S₂, S₁ ? S₂) kde S₁ ? S₂ je mapa prstenu (který chrání identitu). Tvrzení, že objekt R ? R * je parafovat v E znamená to prsten R* je nejúčinnější řešení našeho problému.

Dvě skutečnosti, že tato metoda rngs odbočky do prstenů je nejúčinnější a formulaic mohou být vyjádřeny současně tím, že říká, že to definuje adjoint functor.

Skrytá symetrie úloh optimalizace

Pokračovat v této diskuzi, předpokládat, že my jsme začínali functor F, a položil pokračování (nejasná) otázka: je tam problém ke kterému F je nejúčinnější řešení?

Ponětí o tom F je nejúčinnější řešení problému předložené G je, v jistém pečlivém smyslu, ekvivalentní k představě, že G působí nejvíce těžký problém který F platí.

Toto má intuitivní smysl že adjoint functors by měly vyskytovat se v párech, a ve skutečnosti oni dělají, ale toto není triviální od univerzálních morphism definic. Ekvivalent symmetric definice zahrnovat adjunctions a symmetric jazyk adjoint functors (my můžeme říkat jeden F je zanechal adjoint G nebo G má pravdu ajoint k F) mít výhodu výroby tento fakt nevyslovený.

Formální definice

Tam jsou různé definice pro adjoint functors. Jejich rovnocennost je základní ale ne vůbec triviální a ve skutečnosti velmi užitečný. Tento článek poskytuje několik takových definic:

Definice přes univerzální morphisms jsou snadné ke státu, a vyžadovat minimální verifications když postaví adjoint functor nebo se ukáže jako dva functors adjoint. Oni jsou také nejvíce podobný naší intuici zahrnovat optimalizace.
Definice přes counit-adjunction jednotky je vhodný pro důkazy o functors, které jsou znány být adjoint, protože oni poskytují rovnice, které mohou být přímo obsluhoval.
Definice přes hom-soubory dělá symetrii nejjasnější, a je důvod pro používání adjoint slova.

Adjoint functors vyvstávají všude, ve všech oblastech matematiky. Jejich plná užitečnost spočívá v tom struktura v některém těchto definic dá svah strukturám v jiní přes dlouhou ale triviální sérii odečtení. Tak, přepínání mezi nimi dělá implicitní použití velkého množství nudných detailů, které by jinak musely být opakován odděleně na každou podřízenou plochu. Například, naturality a terminality counit mohou být používáni dokázat, že nějaký pravý adjoint functor chrání limity.

Nápomocná psací konvence

Teorie adjoints má požadavky levý a pravý u jeho založení, a tam je mnoho komponent, které žijí v jedné z dvou kategorií C a D který být v úvaze. To může proto být extrémně užitečné si vybrat dopisy v abecedním pořadí shodovat se k zda oni žijí v “levé” kategorii C nebo “pravá” kategorie D, a také napsat je v tomto pořádku kdykoli možný.

V tomto článku například, dopisy X, F, f,? bude souhlasně označovat věci, které žijí v kategorii C, dopisy Y, G, g,? bude souhlasně označovat věci, které žijí v kategorii D, a kdykoli možné takové věci budou odkazoval se na v pořádku od odešel spravit (functor F: C? D moci být myšlenka jako “živobytí” kde jeho výstupy jsou, v C).

Definice přes univerzální morphisms

Functor F : C ? D je vlevo adjoint functor jestliže pro každý objekt X v C, tam existuje morphism terminálu od F k X. Jestliže G : C ? D je jiný functor takový že terminál morphisms k F moci být vzat formy $(GX,\varepsilon_X)$ pro každého X (tak každý?_X je morphism F(GX)?X), pak my říkáme G je pravé adjoint k F.

Functor G : C ? D je pravé adjoint functor jestliže pro každý objekt Y v D, tam existuje počáteční morphism od Y k G. Jestliže F : C ? D je jiný functor takový ten počáteční morphisms k G moci být vzat formy $(F Y,? Y)$ pro každého Y (tak každý?_Y je morphism Y?G(FY)), pak my říkáme F je zanechal adjoint F.

Poznámky:

To je pravdivé, ale ne bezprostřední od těchto definic, to F je zanechal adjoint G jestliže a jediný jestliže G má pravdu adjoint k F, a že každý vlevo adjoint functor je opuštěn adjoint k nějakému pravému adjoint functor G který je nezbytně jedinečný (a dvojí sdělení). Rovnocenné symmetric definice dole dělají tyto fakty méně matoucí si pamatovat, a má více bezprostředních inmplications protože adjunction struktur oni použijí. Na druhé straně, tyto univerzální morphism definice jsou užitečné pro založení adjoints, protože oni jsou technicky minimalistic v jejich požadavkách, a intuitivně významný v tom nálezu morphisms univerzálie je jako optimalizace.

Definice přes counit-adjunction jednotky

Counit-adjunction jednotky mezi dvěma kategoriemi C a D sestává ze dvou functors F : C? D a G : C? D a dvě přirozené transformace

příslušně volal counit a jednotku adjunction (terminologie od algebry univerzálie *), takový to složení

jsou identitní transformace 1_F a 1_G na F a G příslušně.

V této situaci my říkáme to F je zanechal adjoint G a G má pravdu adjoint k F , a smět označit tento vztah psaním $(\varepsilon,\eta):F\dashv G$ , nebo jednoduše $F\dashv G$ .

Poznámky:

Ve formě rovnice, nad podmínkami na (?,?) být counit-rovnice jednotky

který znamenat to pro každého X v C a každý Y v D,

Tyto rovnice jsou užitečné v důkazech rozmělňování o adjoint functors k algebraickým manipulacím. Oni jsou někdy nazýváni rovnicemi cikcaku protože vzhledu korespondenčních řetězcových diagramů. Způsob, jak si pamatovat je má nejprve napsat nesmyslnou rovnici a pak vyplnit jeden F nebo G v jednom z dvou jednoduchých cest, které dělají složení definovaný. $1=\varepsilon\circ\eta$

* Upozornění:

Použití co předpony v counit tady není slučitelné s terminologií limitů a colimits, protože colimit uspokojí počáteční vlastnictví zatímco counit morphisms uspokojí vlastnosti terminálu a dually. Jednotka termínu tady je půjčil si od teorie monads kde to vypadá jako vložení identity 1 do monoid.

Definice přes hom-adjunction souboru

Hom-adjunction souboru mezi dvěma kategoriemi C a D sestává ze dvou functors F : C? D a G : C? D a přirozený izomorfismus

Toto specifikuje rodinu bijections

pro všechny objekty X v C a Y v D.

V této situaci my říkáme to F je zanechal adjoint G a G má pravdu adjoint k F , a smět označit tento vztah psaním $\Phi:F\dashv G$ , nebo jednoduše $F\dashv G$ .

Poznámky:

Tato definice je logický kompromis v tom to je poněkud více obtížné uspokojit než univerzální morphism definice, a má méně okamžitých důsledků než counit-definice jednotky. To je užitečné protože jeho zřejmé symetrie, a jako šlápnutí-kámen mezi ostatními definicemi.

Aby tlumočil? jak přirozený izomorfismus, jeden musí uznají hom_C(F–, –) a hom_D(–, G–) jako functors. Ve skutečnosti, oni jsou oba bifunctors od D^operace × C k Soubor ( kategorie souborů). Pro podrobnosti, vidět článek na functors hom. Výslovně, naturality? znamená to pro všechny morphisms f : X ? X ? v C a celý morphisms g : Y ?? Y v D následující diagram dojíždí:

Svislé šipky v tomto diagramu jsou ti indukovali složením s f a g.

Adjoint situace v plný

Další tři subsections vysvětlí rovnocennost nad definicemi. Tam jsou od této doby četné functors a přirozené transformace se sdružily s každou situací adjoint, s důmyslnou sítí vztahů mezi nimi, a ve skutečnosti, jeden je schopný postavit všechny těchto dat začínat jediný některé ty kusy. Konečné výsledky této analýzy jsou shrnuty tady předtím, než ospravedlní je.

Adjoint situace mezi kategoriemi C a D sestává z

Functor F : C? D volal levé adjoint
Functor G : C? D volal pravé adjoint
přirozený izomorfismus ? : hom_C(F–, –)? hom_D(–,G–)
přirozená transformace ? : FG ? 1_C nazvaný counit
Přirozená transformace? : 1_D ? GF nazvaný jednotka

Jestliže X naznačuje nějaký objekt C a Y naznačuje nějaký objekt D, síť vztahů mezi těmito functors a transformace mohou být úhledně shrnoval s jeden (složené) tvrzení zahrnovat komutativní diagramy:

Pro každý C- morphism tam je jedinečný $f : FY \to X$ D- morphism takový že diagramy dole dojíždějí, a pro každý $\Phi_{Y,X}(f) = g : Y \to GX$ D- morphism tam je jedinečný $g : Y \to GX$ C- morphism v $\Phi_{X,Y}^{-1}(g) = f : FY \to X$ C takový že diagramy dole dojíždějí:

Od tohoto tvrzení, jeden může obnovit to:

Transformace?,?, a? být spřízněný rovnicemi

Transformace?,? uspokojit counit-rovnice jednotky

Každý pár je terminál morphism od F k X v C $(GX,\varepsilon_X)$
Každý pár $(F Y,? Y)$ je počáteční morphism od Y k G v D

Zvláště, rovnice nahoře dovolí jednoho vymezit (?,?) v termínech? nebo zlozvyk versa. Všichni nahoře požadavky jsou ospravedlněny v další tři subsections.

Morphisms univerzálie přimějí hom-adjunction souboru

Daný pravý adjoint functor ve smyslu pro počáteční morphisms, my můžeme sestrojit functor a hom-adjunction souboru $G: C \to D$ $F: C \leftarrow D$

v následujících krokách:

Pro pro každého Y v D, vybrat si počáteční morphism $(X Y,? Y)$ od Y k G, tak my máme $\eta_Y\to G(X_Y)$ .

Initiality těchto morphisms dovolí nám postavit jedinečný functor $F: C \leftarrow D$ takový to $F Y = X Y$ a $\eta : 1_D \to GF$ je přirozená transformace.

Pro každý morphism $g : Y \to GX$ , initiality $(F Y,? Y)$ znamená, že my můžeme nechat $? Y, X (g)$ být jedinečné morphism $f : FY \to X$ takový to $G(f)\circ\eta_Y=g$ .

Mapa je injective jedinečností a surjective protože my můžeme řešit jeho rovnici vymezení pro f. to je přirozené v X protože? je předurčený člověk a předurčený člověk v Y protože G je functor. Proto pouštění dává hom-adjunction souboru podle potřeby. $\Psi_{Y,X}:\mathrm{hom}_C(FY,X)\leftarrow\mathrm{hom}_D(Y,GX)$ $\Phi_{Y,X}=\Psi_{Y,X}^{-1}:\mathrm{hom}_C(FY,X)\to\mathrm{hom}_D(Y,GX)$

Podobný argument dovolí jednoho budovat hom-adjunction souboru od terminálu morphisms k levému adjoint functor. (stavba daný tady spouštění s pravým adjoint je mírně více obyčejné od té doby, co pravý adjoint v mnoha adjoint párech je trivially definované zahrnutí nebo zapomnětlivé functor.)

Counit-adjunction jednotky přiměje hom-adjunction souboru

Dané functors , , a counit-adjunction jednotky , my můžeme sestrojit hom-adjunction souboru $F: C \leftarrow D$ $G: C \to C$ $(\varepsilon,\eta):F\dashv G$

v následujících krokách:

Pro každého a každý , vymezit $f:FY\to X$ $g:Y\to GX$

Používání, v pořádku, to F je functor, to? je předurčený člověk a counit-rovnice jednotky , my trváme $1_{FY} = \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y)$

Dually, používat to G je functor, to? je předurčený člověk a counit-rovnice jednotky , my trváme $1_{GX} = G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}$

Hom-adjunction souboru přiměje všechny nahoře

Dané functors , , a hom-adjunction souboru , my můžeme sestrojit counit-adjunction jednotky $F: C \leftarrow D$ $G: C \to D$ $\Phi:\mathrm{hom}_C(F-,-)\to\mathrm{hom}_D(-,G-)$

který definuje rodiny parafovat a morphisms terminálu, v následujících krokách:

Nechaný pro každého X v C, kde je identita morphism. $\varepsilon_X=\Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in\mathrm{hom}_D(FGX,X)$ $1_{GX}\in\mathrm{hom}_C(GX,GX)$

Nechaný pro každého Y v D, kde je identita morphism. $\eta_Y=\Phi_{Y,FY}(1_{FY})\in\mathrm{hom}_C(Y,GFY)$ $1_{FY}\in\mathrm{hom}_C(FY,FY)$

Bijectivity a naturality? znamenat, že každý $(GX,\varepsilon_X)$ je terminál morphism od X k F v C, a každý $(F Y,? Y)$ je počáteční morphism od Y k G v D.

Naturality? znamená naturality? a?, a dvě rovnice

Substituting FY pro X a $? Y =? Y, FY (1 F Y)$ pro g ve vteřině rovnice dává první counit-rovnice jednotky

Historický pohled

Všudypřítomnost adjoint functors

Myšlenka na adjoint functor byla vytvořena Daniel Kan v roce 1958. Jako mnoho z pojetí v teorii kategorie, to bylo navrhnuto potřebami algebry homological, který byl v té době oddaný počítáním. Ti postavený před dávání uklizená, systematická představení předmětu by měla si všiml vztahů takový jak

v kategorii abelian skupiny, kde F byl functor $- \otimes A$ (tj. brát tensor produkt s ), a G byl functor hom (, –). Použití se rovná znamení je zneužití notace; ty dvě skupiny nejsou opravdu totožné, ale tam je způsob, jak poznat je to je předurčený člověk. To může být viděno být předurčený člověk na základě, firstly, že tito jsou dva alternativní popisy bilinear mappings od X × k Y. To je, nicméně, něco zvláštní k případu tensor produkt. Jaká teorie kategorie učí je to ' přirozený ' je přesně stanovený termín umění v matematice: přirozená rovnocennost.

Terminologie přijde z Hilbert prostorové myšlenky na operátory adjoint T, U s < Tx, y > = < x, Uy >, který je formálně podobný k nahoře vztah mezi hom-soubory. My říkáme, že F je zanechal adjoint G, a G má pravdu adjoint k F. si všimnout toho G smět mít sebe pravý adjoint, který je docela odlišný od F (vidět dolů pro příklad). Analogie s mapami adjoint Hilbert prostorů může být dělána přesný v jistých kontextech [1].

Jestliže jeden začne hledat tyto adjoint páry functors, oni dopadají být velmi běžný v algebře souhrnu, a jinde také. Sekce příkladu dole poskytuje důkaz tohoto; dále, stavby univerzálie, který může být více známý některým, dát svah četným adjoint párům functors.

V souhlasu s myšlením Saunders macintoshová cesta, jakýkoliv nápad takový jako adjoint functors to nastane široce dost v matematika by měla být studována pro jeho vlastní příčinu.^{[pochvalná zmínka potřebovala]}

Problémy vytvořené s adjoint functors

Sám, všeobecnost adjoint functor pojetí není výhoda pro většinu matematiků. Pojetí jsou souzena podle jejich použití ve vyřešení problémů, přinejmenším jak hodně jak pro jejich použití v teoriích stavby. Napětí mezi těmito dvěma potenciálními motivations pro rozvinutí matematické představy bylo obzvláště velké během padesátých lét, když teorie kategorie byla zpočátku rozvinutá. Zadejte Alexander Grothendieck, kdo používal teorii kategorie vzít kompasové směrníky v foundational, axiomatické práci — ve funkční analýze, homological algebře a konečně algebraické geometrii.

To je pravděpodobně špatné říkat, že on podporoval adjoint functor pojetí v izolaci: ale uznání role adjunction bylo tkvící v Grothendieck přístupu. Například, jeden z jeho hlavních úspěchů byl formulace Serre duality v poměrném ročníku — jeden mohl říkat volně, v nepřetržité rodině algebraických rozmanitostí. Celý důkaz napadl existenci pravého adjoint k jistému functor. Toto je něco nepopiratelně souhrn a non-konstruktivní, ale také silný v jeho vlastní cestě.

Případ částečných objednávek

Každý částečně uspořádaná sada může být viděna jako kategorie (s jediným morphism mezi x a y jestliže a jediný jestliže x? y). Pár adjoint functors mezi dvěma částečně spořádanými soubory je nazýván Galois spojením (nebo, jestliže to je contravariant, antitone Galois spojení). Vidět ten článek pro množství příkladů: případ Galois teorie kursu je nějaký vedoucí. Nějaké Galois spojení dá svah operátorům uzavření a na nepřímou zakázku-chránit bijections mezi odpovídajícími uzavřenými elementy.

Jak je důvod pro Galois se seskupí, skutečný zájem leží často v očišťování shoda s dualitou (tj. antitone objednávají izomorfismus). Léčba Galois teorie podél těchto linek Kaplansky byl vlivný v uznání obecné struktury tady.

Částečná objednávka případ složí adjunction definice docela nápadně, ale moci poskytovat několik témat:

adjunctions nemůže být duality nebo isomorphisms, ale jsou kandidáti na obohacování k tomu stavu
operátoři uzavření mohou ukázat přítomnost adjunctions, zatímco odpovídání monads (cf. Kuratowski axiómy uzavření)
velmi obecná poznámka Martina Hylanda je ta syntax a sémantika adjoint: brát C být soubor všech logických teorií (axiomatizations), a D elektrický soubor souboru všech matematických struktur. Pro teorii T v C, nechaný F (T) být soubor všech struktur, které uspokojí axiómy T; pro soubor matematických struktur S, nechaný G (S) být minimální axiomatization S. my můžeme pak říkáme, že F (T) je podmnožina S jestliže a jediný jestliže T logicky implikuje G (S): “functor sémantiky” F je vlevo adjoint k “functor syntaxe” G.
rozdělení je (obecně) pokus invertovat násobení, ale mnoho příkladů, takový jako zavedení zapletení do logiky propositional nebo ideální kvocient pro divizi ideály prstenu, moci být rozpoznán jako pokus poskytovat adjoint.

Spolu tato pozorování poskytují vysvětlovací hodnotu všude po matematice.

Příklady

Volný seskupí (detailní příklad)

Aby zůstal orientovaný když myšlení adjoint functors, to pomáhá držet detaily přesné adjoint situace v mysli. Adjoint situace volných skupin je dobrý příklad být známý s. Předpokládat to F : Grp ? Soubor functor zadá každému souboru Y volná skupina vytvořený elementy Y, a to G : Grp ? Soubor je zapomnětlivý functor, který zadá každé skupině X jeho základový soubor.

Terminál morphisms. Pro každou skupinu X, skupina FGX je volná skupina vytvářela volně GX, elementy X. (myslet na tyto elementy jak se umístil v závorce ukázat, že oni jsou nezávislé generátory.) nechaný být skupina homomorphism který pošle původce FGX k elementům X oni odpovídají (tak toto je prostě akce “svržení parentheses”). Pak každý je terminál morphism od F k X, protože nějaká skupina homomorphism od volné skupiny FZ k X odkázat faktor přes přes jedinečnou souborovou mapu od Z k GX. Toto znamená to (F, G) je pár adjoint. $\varepsilon_X:FGX\to X$ $(GX,\varepsilon_X)$ $\varepsilon_X:FGX\to X$

Parafujte morphisms. Pro každý soubor Y, soubor GFY je jen základový soubor volné skupiny FY vytvořený Y. Nechaný $\eta_Y:Y\to GFY$ být mapa souboru daná “zahrnutím generátorů”. Pak každý $(F Y,? Y)$ je počáteční morphism od Y k G, protože některý dal mapu od Y k základovému souboru GW skupiny odkázat faktor přes $\eta_Y:Y\to GFY$ přes jedinečný skupinový homomorphism od FY k W. Toto také znamená to (F,G) je pár adjoint.

Hom-adjunction souboru. Mapy od volné skupiny FY ke skupině X odpovídat si přesně k mapám od souboru Y k souboru GX: každý homomorphism od FY k X je úplně určen jeho akcí na generátorech. Jeden může ověřit přímo to tato korespondence je přirozená transformace, který znamená, že to je hom-nachystal adjunction na pár (F, G).

Counit-adjunction jednotky. Jeden může také ověřit přímo to? a? být přirozený. Pak, přímá verifikace že oni tvoří counit-adjunction jednotky je takto: $(\varepsilon,\eta):F\dashv G$

První counit-rovnice jednotky říká to pro každý soubor Y složení $1_F = \varepsilon F\circ F\eta$

should být identita. Přechodná skupina FGFY je volná skupina vytvořená volně slovy o volné skupině FY. (Myslet na tyto slova jak se umístil v závorce ukázat, že oni jsou nezávislé generátory.) šipka $F (? Y)$ je skupina homomorphism od FY do FGFY posílat každý generátor y FY ke korespondenčnímu slovu o délce jeden (y) jako generátor FGFY. Šipka $\varepsilon_{FY}$ je skupina homomorphism od FGFY k FY posílat každý generátor slovu FY to odpovídá (tak tato mapa je “svržení parentheses”). Složení těchto map je opravdu identita na FY.

Druhé counit-rovnice jednotky říká to pro každou skupinu X složení $1_G = G\varepsilon \circ \eta G$

should být identita. Přechodný soubor GFGX je jen základový soubor FGX. Šipka $? G X$ je “zahrnutí generátorů” mapa souboru od souboru GX k souboru GFGX. Šipka $G(\varepsilon_X)$ je soubor mapa od GFGX k GX který underlies homomorphism skupiny posílat každý generátor FGX k elementu X to odpovídá (“svržení parentheses”). Složení těchto map je opravdu identita na GX.

Volné stavby a zapomnětlivé functors

Volné skupiny, volné abelian skupiny, volné prsteny, volné komutativní prsteny, volné moduly, volné vektorové prostory, etc., jsou všechny aplikace levého adjoint k zapomnětlivému functor, který zadá algebraickému objektu jeho základový soubor. Tyto algebraické volné functors mají obecně stejný popis jak v podrobném popisu volné skupinové situace nahoře.

Functors úhlopříčky a limity

Produkty, fibred produkty, vyrovnávací góly a jádra jsou všechny příklady kategorického ponětí o limitu. Nějaký functor limitu má pravdu adjoint ke korespondenčnímu diagonálnímu functor (poskytoval kategorii má druh limitů v pochybnost), a counit adjunction stanoví mapy vymezení od limitu namítají. Dole být některé specifické příklady.

Produkty Nechaný? : Grp² ? Grp functor, který zadá každému páru (X₁, X₂) skupina produktu X₁×X₂, a nechaný? : Grp² ? Grp být functor úhlopříčky který zadá každé skupině X pár (X, X) v kategorii produktu Grp². Univerzální vlastnictví skupiny produktu ukazuje to? má pravdu-adjoint k?. Counit tohoto adjunction je definovat pár map projekce od X₁×X₂ k X₁ a X₂ který definovat limit a jednotku je zahrnutí úhlopříčky skupiny X do X₁×X₂ (mapování x k (x, x )).

Jádra. Zvažovat kategorii D homomorphisms abelian skupin. Jestliže f₁ : ₁ ? B₁ a f₂ : ₂ ? B₂ jsou dva objekty D, pak morphism od f₁ k f₂ je pár (g, g_B) morphisms takový to g_Bf₁ = f₂g_A. Nechaný G : D ? Ab být functor, který zadá každému homomorphism jeho jádro a nechaný F : D ? Ab být functor, který mapuje skupinu k homomorphism ? 0. Pak G je pravý adjoint k F, který vyjadřuje vlastnost univerzálie jádr. Counit tohoto adjunction je prostoupení vymezení jádra homomorphism do domény homomorphism a jednotka je morphism poznávat skupinu s jádrem homomorphism ? 0.

Colimits a functors úhlopříčky

Coproducts, coproducts fibred, coequalizers a cokernels jsou všechny příklady kategorického ponětí o colimit. Nějaký colimit functor je opuštěn adjoint ke korespondenčnímu diagonálnímu functor (poskytoval kategorii má druh colimits v pochybnost), a jednotka adjunction stanoví mapy vymezení do colimit namítají. Dole být některé specifické příklady.

Coproducts. Jestliže F : Ab ? Ab² zadá každému páru (X₁, X₂) abelian skupin jejich přímý součet, a jestliže G : Ab ? Ab² je functor, který zadá každé skupině abelian Y pár (Y, Y), pak F je levý adjoint k G, znovu důsledek univerzální vlastnosti přímých součtů. Jednotka tohoto páru adjoint je definovat pár map zahrnutí od X₁ a X₂ do přímého součtu a counit je přísada mapa od přímého součtu (X,X) couvat k X (posílat element (,b) přímého součtu k elementu +b X).

Další příklady

V algebře

Připojovat identitu k rng. Tento příklad byl projednán v motivačním průřezu nahoře. Daný rng R, multiplikativní identitní element může být přidán tím, že bere RxZ a definovat Z- bilinear produkt s (r, 0) (0, 1) = (0, 1) (r, 0) = (r, 0), (r, 0) (s, 0) = (rs, 0), (0, 1) (0, 1) = (0, 1). Toto buduje levý adjoint k functor brát prsten k základovému rng.

Zavolejte rozšířením. Předpokládat R a S jsou prsteny, a? : R? S je prsten homomorphism. Pak S moci být viděn jak (odešel) R-modul, a tensor produkt s S dá functor F : R-Mod? S-Mod. Pak F je vlevo adjoint k zapomnětlivému functor G : S-Mod? R-Mod.

Tensor produkty. Jestliže R je prsten a M je pravý R modul, pak tensor produkt s M dá functor F : R-Mod ? Ab. Functor G : Ab ? R-Mod, definovaný G() = hom_Z(M,) pro každou skupinu abelian , je pravý adjoint k F.

Od monoids a skupin k prstenům základní monoid prstenová stavba dává functor od monoids k prstenům. Tento functor je vlevo adjoint k functor, který se stýká k danému prstenu jeho fundamentální multiplikativní monoid. Podobně, základní skupinová prstenová stavba dá functor od skupin k prstenům, zanechal adjoint functor, který zadá danému prstenu jeho skupina jednotek. Jeden může také začínat polem K a zvažovat kategorii K-algebras místo kategorie prstenů, dostat monoid a prsteny skupiny přes K.

Field zlomků. Považujte kategorii za Domm oborů integrity se injective _morphisms. Zapomnětlivé functor Field? Domm od polí _má levý adjoint - to zadá každému oboru integrity jeho pole zlomků.

Polynomial zvoní. Nechal prsten _* být kategorie špičatých komutativních prstenů s jednotou (páry (,) kde je prsten a morphisms chrání rozeznané prvky). Zapomnětlivé functor G: prsten _*? prsten má levý adjoint - to zadá každému prstenu R pár (R [x], x) kde R [x] je polynomial prsten s koeficienty od R. $a \in A$

Abelianization. Považovat zahrnutí za functor G : Ab? Grp od kategorie skupin abelian ke kategorii skupin. To levý adjoint volal abelianization, který zadá každé skupině G kvocientová skupinová výmluvnost = G / [G, G].

Grothendieck se seskupí. V K-teorie, výchozí bod má poznamenat, že kategorie vektorových svazků na topological prostoru má komutativní monoid strukturu pod přímým součtem. Jeden může dělat abelian skupinu ven tohoto monoid, Grothendieck se seskupí, formálně přidávat přísadu inverzní pro každý svazek (nebo třída rovnocennosti). Jinak jeden může poznamenat, že functor, který pro každou skupinu vezme základové monoid (inverses zamítnutí) má levý adjoint. Toto je jakmile-pro-celá stavba, v souladu s třetí diskuzí sekce nahoře. To je, jeden může napodobit konstrukci záporných čísel; ale tam je jiná volba existenční věty. Pro případ finitary algebraických struktur, existence sám může být odkázán k univerzální algebře nebo modelové teorii; přirozeně tam je také důkaz přizpůsobený k teorii kategorie také.

Frobenius vzájemnost v teorii reprezentace skupin: vidět přivozenou reprezentaci. Tento příklad nastínil obecnou teorii o polovině století.

V topologii

Functor s odešel a pravý adjoint. Nechaný G být functor od topological prostorů k souborům to se stýká ke každému prostoru topological jeho základový soubor (zapomínat topologii, to je). G má levý adjoint F, vytvářet diskrétní prostor na scéně Y, a pravý adjoint H vytvářet triviální topologii na Y.
Zastavení a prostory smyčky Given topological prostory X a Y, prostor [SX, Y] homotopy tříd map od zastavení SX X k Y je přirozeně isomorphic k prostoru [X, ΩY] homotopy tříd map od X k prostoru smyčky ΩY Y. toto je důležitý fakt v teorii homotopy.
Stone-Čech compactification. Nechal KHaus být kategorie kompaktních Hausdorff prostorů a G : KHaus? vrchol být zapomnětlivé functor ke kategorii prostorů topological. Pak G má levý adjoint F : Vrchol? KHaus, Stone – Čech compactification. Counit tohoto páru adjoint dá nepřetržitou mapu od každého prostoru topological X do jeho Stone-Čech compactification. Tato mapa je prostoupení (tj. injective, spojitý a otevřený) jestliže a jediný jestliže X je Tychonoff prostor.
Přímé a nepřímé představy o svazkách Každý nepřetržitá mapa f : X ? Y mezitím prostory topological přiměje functor f _? od kategorie svazky (souborů, nebo abelian skupiny nebo prsteny...) na X k korespondenční kategorii svazků na Y, functor přímého obrazu. To také přiměje functor f ^{? 1} od kategorie svazků abelian skupin na Y ke kategorii svazků abelian skupin na X, functor originálu. f ^{? 1} je levý adjoint k f _?. Tady více důvtipný bod je to levý adjoint pro soudržné svazky bude lišit se od toho pro svazky (souborů).
Soberification. Článek o dualitě Stonea popisuje adjunction mezi kategorií topological prostorů a kategorií střízlivých prostorů to je známé jako soberification. Pozoruhodně, článek také obsahuje podrobný popis dalšího adjunction, který připraví cestu pro slavnou dualitu střízlivých prostorů a prostorová místa, využívaný v nesmyslné topologii.

V teorii kategorie

Série adjunctions. Functor π0 který zadá kategorii jeho soubory připojených komponent je opuštěn-adjoint k functor D který zadá souboru jednotlivá kategorie na té scéně. Navíc, D je opuštěn-adjoint k objektu functor U který zadá každé kategorii jeho soubor objektů, a konečně U je opuštěn-adjoint k který zadá každému dal antidiscrete kategorii na té scéně.
Exponenciální objekt. V kartézská uzavřená kategorie endofunctor C ? C daný – × má pravý adjoint –.

Vlastnosti

Jedinečnost adjoints

Jestliže functor F : C? D má dva pravé adjoints G a G?, pak G a G? být přirozeně isomorphic. Stejný je pravdivý pro levý adjoints.

Naopak, jestliže F je zanechal adjoint G, a G je přirozeně isomorphic k G? pak F je také zanechal adjoint G?. Více obecně, jestliže? F, G,?,?? je adjunction (s counit-jednotka (?,? )) a

jsou přirozené isomorphisms pak? F?, G?,??,??? je adjunction kde

Tady naznačuje svislé složení přirozených transformací, a naznačuje vodorovné složení. $\circ$ $\ast$

Složení

Adjunctions může být složen v přirozené módě. Specificky, jestliže? F, G,?,?? je adjunction mezitím C a D a? F?, G?,??,??? je adjunction mezitím D a E pak functor

je levý adjoint k

Counit a jednotka tohoto adjunction jsou dáni složeními:

Jeden může pak tvořit kategorii jehož objekty jsou všechny malé kategorie a jehož morphisms adjunctions.

Adjoints hájemské limity

Nejvíce důležitá vlastnost adjoints je jejich souvislost: každý functor, který má levý adjoint (a proto je pravý adjoint) je spojitý (tj. dojíždí s limity v kategorii teoretický smysl); každý functor, který má právo adjoint (a proto je levý adjoint) cocontinuous (tj. dojíždí s colimits).

Protože mnoho obyčejných staveb v matematice je limity nebo colimits, toto poskytuje bohatství informací. Například:

platit pravý adjoint functor k produktu objektů dá produkt obrazů;
aplikovat levý adjoint functor k coproduct objektů dá coproduct obrazů;
každý pravý adjoint functor je vlevo přesný;
každý vlevo adjoint functor je správně přesný.

Additivity

Jestliže C a D jsou kategorie preadditive a F : C? D je functor přísady s pravým adjoint G : C? D, pak G je také functor přísady a hom-bijections souboru

být, ve skutečnosti, isomorphisms abelian skupin. Dually, jestliže G je přísada s levým adjoint F, pak F je také přísada.

Navíc, jestliže oba C a D jsou kategorie přísady (tj. preadditive kategorie s celým konečným biproducts), pak nějaký pár adjoint functors mezi nimi být automaticky přísada.

Obecná existenční věta

Ne každé functor G : C? D připustí levý adjoint. Jestliže C je kompletní kategorie pak functors s levým adjoints mohou být charakterističtí adjoint functor teorémem Petera J. Freyd: G má levý adjoint jestliže a jediný jestliže to je spojité a jistá drobnostní podmínka je uspokojená: pro každý objekt Y D tam existuje rodina morphisms

kde indexy i přijít z soubor I, ne pořádná třída, takový ten každý morphism

moci být psán jak

pro některé i v já a nějaký morphism

Podobné sdělení charakterizuje ty functors s pravým adjoint.

Vztah k jiným kategorickým pojetím

Stavby univerzálie

Jak řečený dříve, adjunction mezi kategoriemi C a D dá svah rodině morphisms univerzálie, jeden pro každý objekt v C a jeden pro každý objekt v D. naopak, jestliže tam existuje morphism univerzálie k functor G : C? D od každého objektu D, pak G má levý adjoint.

Nicméně, univerzální stavby jsou obecnější než adjoint functors: univerzální stavba je jako úloha optimalizace; to dá svah adjoint páru jestliže a jediný jestliže tento problém má řešení pro každý objekt D (equivalently, každý objekt C).

Equivalences kategorií

Každý rovnocennost kategorií definuje adjunction. Jestliže F : C ? D a G : C ? D jsou functors s přirozenými isomorphisms? : FG ? 1_C a? : 1_D ? GF pak (F, G) tvořit adjoint pár se counit? a jednotka?. Naopak, adjunction?F, G,?,?? definuje rovnocennost kategorií jestliže a jediný jestliže counit a jednotka jsou přirozené isomorphisms (a ne spravedlivé přirozené transformace).

Jestliže (F, G) definovat rovnocennost kategorií, pak F je ne jediný levý adjoint G ale pravý adjoint také. Výslovně, jestliže? F, G,?,?? je adjoint rovnocennost pak tak je? G, F,?? 1,?? 1?.

Každé adjunction?F, G,?,?? rozšíří rovnocennost jistého subcategories. Vymezit C₁ jako plné subcategory C sestávat z těch objektů X C pro kterého?_X je izomorfismus, a vymezit D₁ jak plné subcategory D sestávat z těch objektů Y D pro kterého?_Y je izomorfismus. Pak F a G moci být omezen k D₁ a C₁ a dát inverzní equivalences těchto subcategories.

V jistém smyslu, pak, adjoints jsou “celkové” inverses. Poznámka nicméně to správně inverzní F (tj. functor G takový to FG je přirozeně isomorphic k 1_D) potřeba ne být pravý (nebo odešel) adjoint F. Adjoints zevšeobecní oboustranný inverses.

Monads

Každé adjunction? F, G,?,?? dá svah sdruženému monad? T,?,?? v kategorii D. functor

je dáván T = GF. Jednotka monad

je jen jednotka? adjunction a transformace násobení

je dáván? = GεF. Dually, trojnásobný? FG,?, FηG? definuje comonad v D.

Každý monad se vynoří z nějakého adjunction — ve skutečnosti, typicky od mnoha adjunctions — v nad módou. Dvě stavby, volal kategorii Eilenberg-algebras Moorea a Kleisli kategorie jsou dvě extremal řešení problému postavení adjunction, který dá svah danému monad.

Odkazy

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, a George E. Strecker (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie. John Wiley a synové. ISBN 0-471-60922-6. http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc. pdf.
Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro pracovního matematika. Texty absolventa v matematice 5 (( 2. ed.) ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.

Externí odkazy

Adjunctions sedm krátkých přednášek na adjunctions.