Axiom výběru
axiom výběru je axióm v teorii množin. To bylo vytvořeno o století dříve Ernst Zermelo, a byl docela kontroverzní v době. To řekne pokračování:
Nechaný X být sbírka non-vyprázdnit soubory. Pak my můžeme si vybrat člen od každého vsadil tu sbírku.
Řečený více formálně:
Tam existuje funkce f definovaný na X takový to pro každý soubor S v X, f(S) je element S.
Další formulace axioma výběru (střídavý proud) říká:
Daný nějaký soubor vzájemně exkluzivních non-prázdné množiny, tam existuje přinejmenším jeden soubor, který obsahuje přesně jeden element v obyčejný s každým non-prázdné množiny.
To vypadá zřejmé: jestliže vy jste dostali skupinu krabic povalovat se s přinejmenším jedna položka v každém je, axióm jednoduše říká, že vy můžete si vybrat jednu položku ven každé bedny. Kde je diskuse?
Dobře, diskuse byla u konce co to chtělo si vybrat něco od těchto souborů. Jako příklad, nechejte nás se dívat na některé soubory vzorku.
- 1. Nechaný X být nějaká konečná sbírka non-prázdné množiny.
- Pak f moci být řeknut výslovně (ven souboru si vybrat ,...), protože množství souborů je konečné.
- Tady axiom výběru není potřebovaný, vy můžete jednoduše používat pravidla formální logiky.
- 2. Nechaný X být sbírka všech non-vyprázdnit podmnožiny přirozených čísel {0, 1, 2, 3,...}.
- Pak f moci být funkce, která si vybere nejmenší element v každém souboru.
- Znovu axiom výběru není potřebovaný od té doby, co my máme pravidlo pro dělat si vybírat.
- 3. Nechaný X být sbírka celého náhradníka-pauzy (0, 1) s délkou větší než 0.
- Pak f moci být funkce, která si vybere střed každé pauzy.
- Znovu axiom výběru není potřebovaný.
- 4. Nechaný X být sbírka všech non-vyprázdnit podmnožiny reals.
- Teď my máme problém. Není tam žádná zřejmá definice f to bude garantovat vám úspěch, protože jiné axiómy ZF teorie množin dělají ne dobře-objednat reálná čísla.
Axiom výběru byl dokázaný být nezávislý na zbývajících axiómech teorie množin; to je, to může být žádný dokázaný ani vyvrácený od nich (ledaže ty zbývající axiómy obsahují rozpor, který my nevíme to). Toto je výsledek práce Kurt Gödel a Paul Cohen. Tam být tak žádné rozpory jestliže vy rozhodnete se nepřijímat axiom výběru; nicméně, nejvíce matematici přijmou to jeden to, nebo oslabená varianta toho, protože to dělá jejich práce snadnější. Přes toto, tam je nějaká studie o systémech ve kterém axiom výběru je jeden ne pravdivý nebo přinejmenším ne přijal (vidět také axióm pravidelnosti). V těchto případech to je důležité být vědomý které důkazy v matematice používají axiom výběru a který dělat ne.
Jeden z důvodů, že někteří matematici dělají ne zvláště jako axiom výběru je že to implikuje existenci nějakého divného pultu-intuitivní objekty. Příklad tohoto je Banach-Tarski paradox který se rovná pověsti, že to je možné k “vyřezat-nahoru” 3-rozměrný pevný jednotkový míč do finitely mnoho kusů, a, používat jedinou rotaci a překlad, reassemble kusy do dvou míčů každý se stejnou hlasitostí jako originál. Si všimnout toho důkaz, jako všechny důkazy zahrnovat axiom výběru, je důkaz existence jediný: to neřekne vám jak rozdělit kouli jednotky dělat toto se stát, to prostě řekne vám že to může být děláno.
Jeden z nejzajímavějších stránek axioma výběru je pouhé množství míst v matematice že to se ukáže. Tam být také významné množství sdělení, která jsou ekvivalentní k axiomu výběru, nejdůležitější mezi nimi Zornovy lemma a dobře-objednávat princip: každý soubor může být dobře-objednal. (ve skutečnosti, Zermelo zpočátku představil axiom výběru aby formoval jeho důkaz studny-objednávat princip.)
Jerry Bona jednou říkal: “axiom výběru je zřejmě pravdivý, studna-objednávat princip zřejmě falešný, a kdo může říci o Zornovi je Lemma?”. Opravdu, všichni tři tito jsou matematicky rovnocenní, ale sdělení bylo zábavné protože to podtrhlo skutečnost, že většina matematiků najde axiom výběru být intuitivní, studna-objednávat princip být counterintuitive a Zornovy lemma být příliš složitý tvořit nějaký intuitivní pocit o. Několik centrálních teorémů v různých pobočkách matematiky vyžaduje axiom výběru (nebo jeden z jeho slabších verzí, takový jako lemma ultrafilter, axiom počitatelného výběrunebo axiom závislého výběru). Tyto větve jsou:
- Teorie množin
- Nějaký odbor countably mnoho spočitatelné množiny je sám počitatelný.
- Jestliže soubor je nekonečný, pak tam existuje injekce od přirozených čísel N k .
- Jestliže soubor je nekonečný, pak a × mít stejný mohutnost.
- Jestliže dva soubory jsou dávány, pak oni jeden mít stejnou mohutnost, nebo jeden má menší mohutnost než jiný.
- Algebra
- Každý vektorový prostor má základ.
- Každý prsten obsahuje maximal ideál.
- Každé pole má algebraické uzavření.
- Reprezentace kamene teorém, říkat, že každá booleovská algebra isomorphic k nějaké booleovské algebře souborů.
- Funkční analýza
- Hahn-Banach teorém v funkční analýze, dovolovat rozšíření lineárních functionals.
- Banach-Alaoglu teorém o kompaktnosti souborů functionals.
- Baire teorém kategorie o kompletní metrické prostory, a jeho důsledky, takový jak otevřít teorém mapování a uzavřený grafový teorém.
- Obecná topologie
- Tychonoff přiměje teorém říct to každý produkt kompaktních topological prostory je kompaktní.
- V topologii produktu, uzavření produktu podmnožin je stejný s produktem uzavření.
- Nějaký produkt kompletní uniformy rozmístí je kompletní.
- Jednotný prostor je kompaktní jestliže a jediný jestliže to je kompletní a totálně ohraničený.
- Každý Tychonoff prostor má Kámen-Cech compactification.
Vnější spojení
Tam je mnoho lidí ještě dělat práci na axiomu výběru a jeho důsledky. Jestliže vy jste zainteresovaní v více, se zlepšovat Paul Howard u EMU.