Banach prostor
V matematice, Banach prostory, pojmenoval podle Stefana Banache kdo studoval je, být jeden z centrálních předmětů studia v funkční analýze. Banach prostory jsou typicky nekonečné-dimenzionální prostory obsahovat funkce.
| Tabulka s obsahem |
| 1 definice 2 příklady 3 lineární operátoři 4 deriváty 5 dvojího prostoru 6 zevšeobecňování 7 externích spojení |
Banach prostory jsou definované jak dokončují normed vektorové prostory. Toto znamená, že Banach prostor je vektorový prostor V přes skutečný nebo komplex čísla se normou | |. | | takový to každá Cauchy sekvence (s úctou k metrický d(x, y) = | |x - y| |) v V má limit v V.
Během, nechaný K kandidovat na jeden z polí R nebo C.
Známý Euclidean prostory Kn, kde Euclidean norma x = (x1,..., xn) je dáván | |x| | = (a součet; |xi|2)1/2, je prostor Banache.
Doba všech nepřetržitých funkcí f : [, b] -> K definovaný na zavřel pauzu [, b] stane se prostorem Banache jestliže my definujeme standard takový funkce jak | |f| | = popíjet {|f(x) |: x v [, b]}. Toto je opravdu norma od té doby, co spojité funkce definované na uzavřené pauze jsou ohraničené. Prostor je kompletní pod touto normou a výsledný Banach prostor je označován C [, b]. Tento příklad může být celkový k prostoru C (X) všech spojitých funkcí X -> K, kde X je kompaktní prostor, nebo k době všech ohraničených spojitých funkcí X -> K, kde X je nějaký prostor topological, nebo opravdu k prostoru B (X) všech ohraničených funkcí X -> K, kde X je nějaký soubor. Ve všech těchto příkladech, my můžeme znásobit funkce a zůstat ve stejném prostoru: všechny tyto příklady jsou ve skutečnosti unitary Banach algebras.
Jestliže p a ge; 1 je reálné číslo, my můžeme zvažovat dobu všech nekonečný sekvence (x1, x2, x3,...) elementů v K takový to nekonečná řada a součet; |xi|p se sblíží. p- kořen th hodnoty této série je pak definován být p- standard sekvence. Prostor, spolu s touto normou, je prostor Banache; to je označováno p.
Banach prostor a infin; sestává ze všech ohraničených sledů elementů v K; standard takový sekvence je definována být supremum absolutních hodnot sekvenčních členů.
Znovu, jestliže p a ge; 1 je reálné číslo, my můžeme zvažovat všechny funkce f : [, b] -> K takový to |f|p je Lebesgue integrable. p- kořen th toto základní je pak definován být standard f. Sám, tento prostor není prostor Banache, protože tam jsou non-funkce nuly jehož norma je nulová. My definujeme vztah rovnocennosti takto: f a g být rovnocenný jestliže a jediný jestliže standard f - g je nulový. Soubor tříd rovnocennosti pak tvoří Banach prostor; to je označováno L p[, b]. To je rozhodující pro použití Lebesgue základní a ne Riemann základní tady, protože Riemann základní by nedal kompletní prostor. Tyto příklady mohou být celkové; vidět p prostory pro podrobnosti.
Konečně, každý Hilbert prostor je prostor Banache. Hovořit je ne pravdivý.
Jestliže V a W jsou prostory Banache přes stejný základ pole K, soubor všech spojitý K- lineární mapy : V -> W je označován L (V, W). Si všimnout toho v nekonečný-dimenzionální prostory, ne všechny lineární mapy jsou automaticky spojité. L (V, W) je vektorový prostor, a tím, že definuje standard | || | = popíjet {| |Sekyra| |: x v V s | |x| | a le; 1} to může být obrácené do Banach prázdna.
Prostor L (V) = L (V, V) dokonce se tvoří unitary Banach algebra; operace násobení je dána složením lineárních map.
To je možné definovat derivát funkce f : V -> W mezi dvěma Banach prostory. Intuitivně, jestliže x je element V, derivát f na místě x je nepřetržitá lineární mapa, která se přiblíží f blízko x.
Formálně, f je nazýván differentiable u x jestliže tam existuje nepřetržitá lineární mapa : V -> W takový to
- limh->0 | |f(x + h) - f(x) - (h) | | / | |h| | = 0
Toto ponětí o derivátu je ve skutečnosti zevšeobecňování obyčejného derivátu funkcí R -> R, od lineárních map od R k R být jen multiplications s reálnými čísly.
Jestliže f je differentiable na každém místě x V, pak Df : V -> L (V, W) je další mapa mezi prostory Banache (obecně ne lineární mapa!), a moci možná být rozlišen znovu, tak definovat vyšší derivace f. n- derivát th na místě x moci pak být prohlížený jako mapa multilinear n -> W.
Rozdílnost je lineární operace v následujícím smyslu: jestliže f a g jsou dvě mapy V - W který differentiable u x, a r a s scalars od K, pak rf + sg differentiable u x s D (rf + sg) (x) = rD (f) (x) + sD (g) (x).
pravidlo řetězu je také platné v tomto kontextu: jestliže f : V -> W differentiable u x v V, a g : W -> X differentiable v f(x), pak složení g o f differentiable v x a derivát je složení derivátů:
- D (g o f) (x) = D (g) (f(x)) o D (f) (x)
Dvojí prostor
Jestliže V je prostor Banache a K je fundamentální pole (jeden skutečný nebo komplexní čísla), pak K je sám Banach prostor (používat absolutní hodnotu jak normu) a my můžeme vymezit dvojí prostor V ' V ' = L (V, K). Toto je znovu Banach prostor. To může být používáno vymezit nový topologie na V: slabá topologie.
Tam je přirozená mapa F od V k V ' ' definovaný
- F(x) (f) = f(x)
Několik důležitých prostorů ve funkční analýze, například doba všech nekonečně často differentiable funkce R -> R nebo doba všech distribucí na R, být kompletní ale normed vektorové prostory a od této doby ne Banach prostory. V Fréchet prostory jeden ještě má kompletní metrický, zatímco LF-prostory jsou dokončit uniformu vektorové mezery, které vzniká jako limity Fréchet prostory. Externí odkazy
Pro historické odkazy vidět Banach prostorový vstup v