Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Banach-Tarski paradox

Banach-Tarski paradox je slavný “skládat míč” paradox, který prohlásí to tím, že používá axiom výběru to je možné vzít míč pevné látky v 3-dimenzionální prostor, nakrájel to do finitely mnoho kusů a, pohybovat jimi používat jedinou rotaci a překlad, reassemble kusy do dvou míčů stejný velikost jako originál. Nebo krátký: míč je equi-decomposable se dvěma kopiemi sebe. Pro míč, pět kusů je dostatečné dělat toto; to nemůže být potřebováno méně než pět.

Tam je ještě silnější verze paradoxu:

Nějaké dvě ohraničené podmnožiny (3-rozměrný Euclidean prostor R3) se non -se vyprázdnit vnitřek equi-decomposable.

Jinými slovy, mramor může být nakrájen do finitely mnoho kusů a reassembled do planety. Nebo vy jste mohli rozebrat telefon a reassemble to dělat leknín. Schválit, vy nemůžete dělat toto se skutečným mramorem nebo skutečným telefonem, který být tvořen atomů, ale vy můžete dělat to s jejich tvary.

To je zajímavé poznamenat, že tento teorém závisí na třech rozměrech; zatímco intuitivně dvojrozměrný případ vypadá, že je snadnější, to je ve skutečnosti ne pravdivý to všechny ohraničené podmnožiny letadla se non-vyprázdnit vnitřek equi-decomposable. Stále, tam jsou některé paradoxní decompositions v letadle: kruh může být narazen finitely mnoho kusů a reassembled tvořit čtverec rovnat se oblasti; vidět Tarski kruh-srovnat problém.

Si všimnout toho v rozložení, kusy nebudou měřitelnéa tak oni nebudou mít “rozumné” hranice ani “hlasitost” v obyčejném smyslu. To je nemožné provádět takový rozebrání fyzicky protože rozebrání “s nožem” může vytvořit jen měřitelné soubory. Tato čistá existence sdělení v matematice poukáže na to tam být mnoho více souborů než jen měřitelné soubory známé většině lidem.

V 1924, Stefan Banach a Alfred Tarski popisoval tento paradox, stavět na časnější práci Felix Hausdorff kdo zvládal “nakrájet” pauza jednotky do countably mnoho kusů který (překladem jediný) moci být reassembled do intervalu délky 2. On dělal toto aby ukázal, že to tam může být žádný non-triviální překlad neměnný míra na reálné ose který zadá velikost všem soubory reálných čísel.

Logici nejvíce často používají termín “paradox” pro sdělení v logice který působí problémy, protože to způsobí rozpory, takový jako Paradox lháře nebo Russellův paradox. Banach-Tarski paradox není paradox v tomto smyslu ale poněkud dokázaná věta; to je paradox jen ve smyslu pro pult bytí-intuitivní. Protože jeho důkaz prominentně používá axiom výběru, tento pult-intuitivní závěr byl představovaný jako argument proti přijetí toho axióma.

Nástin důkazu následuje. V podstatě, paradoxní rozložení míče je dosažené ve čtyřech krokách:

  1. Najít paradoxní rozložení volný skupina ve dvou generátorech.
  2. Najít skupinu rotací v 3-d prostor isomorphic k volné skupině ve dvou generátorech.
  3. Používat paradoxní rozložení té skupiny a axiom výběru produkovat paradoxní rozložení koule dutého prvku.
  4. Rozšiřte toto rozložení koule k rozložení pevného jednotkového míče.

Volná skupina se dvěma generátory a a b sestává ze všech konečné řetězce, které mohou být tvořily se od čtyř symbolů a, a-1, b a b-1 takový to ne a vypadá přímo příští k a-1 a ne b vypadá přímo příští k b-1. Dva takové řetězce mohou být kaskádové a přestavěné do řetězu tohoto typu tím, že opakovaně nahradí “zakázané” podřetězce s prázdným řetězcem. Například: abab-1a-1 kaskádový s abab-1a výnosy abab-1a-1abab-1a, který je redukován k abaab-1a. Jeden může zkontrolovat, že soubor těch řetězců s touto operací tvoří skupinu s neutrálním elementem prázdný řetězec, tady označil a epsilon;. My budeme volat tuto skupinu G.

Skupina G moci být “paradoxically rozložený” takto: nechaný S(a) být soubor všech řetězců, které začínají a a vymezit S(a-1), S(b) a S(b-1) podobně. Jasně,

G = {a epsilon;} a pohár; S(a) a pohár; S(a-1) a pohár; S(b) a pohár; S(b-1)
ale také
G = a S(a-1) a pohár; S(a), a
G = b S(b-1) a pohár; S(b)
(Notace a S(a-1) prostředky: přijmout všechny řetězce S(a-1) a concatenate je nalevo s a.) Ujistit se to vy rozumíte této poslední lince, protože to je v jádru důkazu. Teď se dívat na toto: my jsme uřezali naši skupinu G do čtyř kusů (zapomenout na a epsilon; prozatím, to nepůsobí problém), pak “točil” někteří je tím, že násobí s a nebo b, pak “reassembled” dva je dělat G a reassembled jiný dva udělat další kopii G. To je přesně co my chceme způsobovat míči. Toto dokončí krok 1.

Aby našel skupinu rotací 3-d prostor, který chová se právě jako (nebo “isomorphic k”) skupina G, my vezmeme dvě orthogonal sekyry a necháme A být rotace arccos (1/3) o první a B být rotace arccos (1/3) o sekundě. (tento krok nemůže být vykonáván ve dvou rozměrech.) to je poněkud neuspořádané ale ne příliš obtížný ukázat, že tyto dvě rotace se chovají úplně jako elementy a a b v naší skupině G. My přeskočíme to. Nová skupina rotací vytvářela A a B bude být volán H. Samozřejmě, my nyní také máme paradoxní rozložení H.

Číslo kroku 3: Koule jednotky S2 je rozdělen do “orbit” akcí naší skupiny H: dva body patří ke stejné orbitě jestliže a jediný jestliže tam je rotace v H který pohybuje prvním bodem do sekundy. My můžeme používat axiom výběru si vybrat přesně jeden bod od každé orbity; sbírat tyto body do souboru M. Nyní (téměř) každý bod v S2 moci být sáhl v přesně jedné cestě tím, že aplikuje pořádnou rotaci od H k pořádnému elementu od M, a protože toto, paradoxní rozložení H pak dá paradoxní rozložení S2.

(Tento náčrtek přehlíží některé detaily. Jeden musí být opatrný na soubor bodů na kouli který se přihodit lži na ose rotace nějaké matice v H. Na jednu stranu, tam countably mnoho takových bodů tak oni “nevadí,” a na druhé straně to je možné k místě nahoru vyrovnat ty body.)

Konečně, spojit každý bod na S2 s paprskem k původu; paradoxní rozložení S2 pak dá paradoxní rozložení pevného jednotkového míče (bez původu, ale to může být řešeno snadno).

Externí odkazy