Základ (lineární algebra)

V matematice, podmnožina S vektorového prostoru V je řekl, aby byl základ V jestliže to uspokojí jeden z čtyř rovnocenných podmínek:

S je minimální generátorové soustrojí V.
S je maximal soubor linearly nezávislých vektorů.
S je jak soubor linearly nezávislých vektorů tak generátorové soustrojí V.
každý vektor v V moci být vyjádřen jako lineární kombinace vektorů v S v jedinečné cestě.

Vzpomenout si na to soubor S je hnací agregát V jestliže každý vektor v V je lineární kombinace vektorů v S.

Tato definice zahrnuje finiteness podmínku: lineární kombinace je vždy konečná suma formy ₁v₁+... +_nv_n.

Používat Zornovy lemma, jeden může ukazovat to:

) Každý vektorový prostor má základ.

b) Každé východisko pro vektorový prostor má stejný mohutnost, volal rozměr vektorového prostoru.. Tento výsledek je známý jako rozměrový teorém pro vektorové prostory.

Příklad já: ukazovat to vektory (1, 1) a (- 1, 2) tvořit základ pro ².

Důkaz: My musíme dokázat, že tyto 2 vektory jsou oba linearly nezávislé a že oni vytvářejí ².

Část I: Dokázat, že oni jsou linearly nezávislí, předpokládat, že tam jsou čísla, b takový to:

a(1,1)+b(-1,2)=(0,0)

Pak:

(- b, + 2b) = (0, 0) a-b = 0 a + 2b = 0.

Odečítat první rovnici od sekundy, my trváme:

3b = 0 tak b = 0.

A od první rovnice pak:

a=0.

Část II: Dokázat, že tyto dva vektory vytvářejí ², my musíme nechat (, b) být libovolný element ², a ukazovat to tam existovat čísla x, y takový to:

x(1,1)+y(-1,2)=(a,b)

Pak my musíme vyřešit rovnice:

x-y=a
x+2y=b.

Odečítat první rovnici od sekundy, my dostaneme:

3y = b -, a pak
y = (b -) / 3, a konečně
x=y+a=((b-a)/3)+a.

Příklad II: my jsme už ukázali, že E₁, E₂, ..., E_n být linearly nezávislý a vytvářet ⁿ. Proto, oni tvoří základ pro ⁿ.

Příklad III: nechaný W být vektorový prostor vytvořený e^t, e^2t. My jsme už ukázali, že oni jsou linearly nezávislí. Pak oni tvoří základ pro W.

Různý pojem je to orthonormal základu Hilbert prostoru a některé jiné druhy základů, které se vyskytují v prostorech Banache nebo, více obecně, v topological vektorových prostorech, kde jeden může definovat inifinte součty (nebo série) a vyjadřovat prvky prostoru jako nekonečné lineární kombinace dalších prvků. Obyčejné základy jsou někdy nazývány Hamel základy v rozkazu distiguish je od těchto pojetí topological,.

Viz též: