Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Bayesův teorém

Tabulka s obsahem
1 historické poznámky
2 Bayesův teorém v teorii pravděpodobnosti
3 Bayesianism
4 příklady
5 odkazů
6 vidět také

Historické poznámky

Bayesův teorém je výsledek v teorii pravděpodobnosti, pojmenoval podle ctihodný Thomas Bayes (1702 -- 61). Bayes pracoval na problému práce na počítači distribuce pro parametr distribuce dvojčlena (používat moderní terminologii); jeho práce byla vydaná a představovala posmrtně (1763) jeho přátelskou Richard cenou, v Eseji k vyřešení problému v nauce šancí. Bayesovy výsledky byly kopírované a se prodlužovaly Laplace v eseji 1774, kdo zřejmě nebyl vědomý Bayesovy práce.

Hlavní výsledek (problém 9 v eseji) pocházel Bayes je sledování: předpokládat jednotnou distribuci pro předchozí distribuci parametru dvojčlena p, pravděpodobnost to p je mezi dvěma hodnotami a b je

kde m je množství pozorovaných úspěchů a n množství pozorovaných poruch. Jeho předběžné výsledky, v partikulárních výrokách 3, 4, a 5, implikovat výsledek nyní volal Bayesův teorém (jak popsal dole), ale to nevypadá jako to Bayes sám zdůraznil nebo se zaměřil na ten výsledek.

Co je “Bayesian” o problému 9 je že Bayes představoval to jako pravděpodobnost pro parametr p. To je, ne jediný může jeden vypočítat pravděpodobnosti pro experimentální výsledky, ale také pro parametr který se pojí s nimi a stejná algebra je používána dělat závěry z jednoho druhu. V kontrastu, shodovat se k frequentist výkladu, není tam žádná taková věc jako rozdělení pravděpodobnosti pro p a proto někteří non-probabilistic odvozovací mechanismus musí být zvyklý na důvod o p.

Bayesův teorém v teorii pravděpodobnosti

Bayesův teorém je používán ve statistickém závěru k aktualizačním odhadům pravděpodobnosti že různé hypotézy jsou pravdivé, založený na pozorováních a znalostech jak pravděpodobně ta pozorování jsou, daný každá hypotéza. Tam jsou jednotlivé a spojité verze teoréma. Bayesianism, jako myšlenkový směr, je založený na představě, že Bayesův teorém může být aplikován na nějaké problémy, zda oni jsou prohlášení o experimentálních proměnných nebo nějakém jiném druhu sdělení. V kontrastu, shodovat se k frequentist škole, Bayesův teorém může jen být aplikován na problémy ve kterém všechna sdělení jsou o experimentálních proměnných osamoceně.

V teorii pravděpodobnosti, Bayesův teorém je prohlášení o podmíněných pravděpodobnostech to dovolí výměnu pořadí eventss. Jestliže a B jsou dvě události, Bayesův teorém dovolí nám vypočítat pravděpodobnost Daný B jestliže my známe pravděpodobnost B daný a pravděpodobnosti každé události osamocený. Je to jednoduchý teorém s širokou použitelností.

Odvodit Bayesův teorém, poznámka nejprve od definice podmíněné pravděpodobnosti to

označit P(,B) pravděpodobnost kloubu a B. Dělit se odešel - a pravé strany P(B), my trváme
který je Bayesův teorém.

Každý termín v Bayesově teorému má tradiční jméno. Termín P() je nazýván dřívější pravděpodobností . To je “předchozí” v pocitu, že to předchází nějaké informace o B. Equivalently, P() je také nazýván okrajovou pravděpodobností . Termín P(|B) je nazýván pozdější pravděpodobností , daný B. To je “pozadí” v pocitu, že to je pocházel z nebo znamenal specifikovanou hodnotou B. Termín P(B|), pro specifickou hodnotu B, je nazýván funkcí pravděpodobnosti pro . Termín P(B) je nazýván předchozí nebo okrajovou pravděpodobností B.

Alternativní formy Bayesova teoréma

Bayesův teorém je často ozdoben tím, že poznamená to

tak teorém může být zopakován jak

kde C je událost complementaryary . Více obecně, kde {i} tvoří rozdělení prostoru události,

pro některého i v rozdělení.

Viz též právo úplné pravděpodobnosti.

Bayesův teorém pro hustoty pravděpodobnosti

Tam je také verze Bayesova teoréma pro spojitá rozdělení. To má stejný tvar jak v jednotlivém případě, ale to je poněkud tvrdější pocházet, od hustot pravděpodobnosti, přísně mluvit, být ne pravděpodobnosti, tak Bayesův teorém musí být založen procesem limitu. Vidí Papoulis (pochvalná zmínka dole), sekce 4.5 pro původ.

Nepřetržitý případ Bayesova teoréma také říká distribuce pozadí vyplývá z násobit předchozí pravděpodobností a pak normalizovat. Předchozí a pozdější distribuce jsou obvykle poznány s jejich funkcemi hustoty pravděpodobnosti.

Například, předpokládat podíl voličů, kteří budou hlasovat “ano” je neznámé číslo p mezi 0 a 1. Vzorek n voliči je kreslen náhodně od populace, a to je poznamenalo to x ti n voliči budou hlasovat “ano”. Funkce pravděpodobnosti je pak

L(p) = [konstanta] px (1 a bez; p)na bez;x.

Násobit to dřívější hustotou pravděpodobnosti funtion p a pak normalizování dá pozadí rozdělení pravděpodobnosti p, a tak aktualizuje pravděpodobnosti ve světle nových dat daných anketou. Tak jestliže dřívější rozdělení pravděpodobnosti p je uniforma na pauze [0, 1], pak pozdější rozdělení pravděpodobnosti by mělo hustotu formy

f(p|x) = [konstanta] px (1 a bez; p)na bez;x

a toto “konstanta” by byla různá od jeden to se objeví ve funkci pravděpodobnosti.

Bayesianism

Bayesianism je filozofická škola, která si myslí, že pravidla matematické pravděpodobnosti platí ne jediný když pravděpodobnosti jsou poměrné frekvence přiřazené k náhodným událostem, ale také když oni jsou míry víry přiřazené k nejistým problémům. Aktualizovat tyto míry víry ve světlo nového důkazu téměř trvale zahrnuje aplikaci Bayesova teoréma.

Příklady

Od kterého nádrž je stavový záznam?

Ilustrovat, předpokládat jsou tam dva mísy plné koláčků. Mísa # 1 má 10 čipu čokolády a 30 koláčků roviny, mísa chvíle # 2 má 20 každý. Náš přítel Fred si vybere mísu náhodně, a pak vybere si koláček náhodně. My můžeme přijmout není tam žádný důvod věřit Fred zachází s jednou nádrží jinak než jiný, podobně pro stavové záznamy. Koláček dopadá být nějaký prostý. Jak pravděpodobné je to že Fred vypozoroval to mísy # 1?

Intuitivně, to vypadá jasné, že odpověď by měla být více než 50 %, protože tam jsou více prosté stavové záznamy na míse # 1. Přesná odpověď je dána Bayesovým teorémem. Nechaný H1 odpovídá míse # 1, a H2 k nádrži # 2. To je dáváno že mísy jsou totožné od Fredova hlediska, tak P(H1) = P(H2), a dva muset sčítat k 1, tak oba jsou se rovnat k 50 %. “data” D spočívá v pozorování koláčku roviny. Od obsahu nádrží, my známe to P (D | H1) = 30/40 = 75 % a P (D | H2) = 20/40 = 50 %. Bayesova rovnice pak výnosy

Dříve pozorovat koláček, pravděpodobnost že Fred si vybral mísu # 1 je předchozí pravděpodobnost, P(H1), který je 50 %. Poté, co pozoroval koláček, my revidujeme pravděpodobnost k P(H1|D), který je 60 %.

Falešné positives v lékařském testu

Falešné positives jsou problém v nějakém druhu testu: žádný test je dokonalý, a někdy vůle testu nesprávně ohlásit kladný výsledek. Například, jestliže test pro zvláštní nemoc je vykonávána na pacientovi, pak je šance (obvykle malý) že test vrátí výsledek postive dokonce jestliže pacient nemá nemoc. Problém leží, nicméně, ne jen v šanci falešný pozitivní předtím než testuje, ale určovat naději, že kladný výsledek je ve skutečnosti falešný pozitivní. Jak my budeme demonstrovat, používat Bayesův teorém, jestliže podmínka je vzácná, pak většina kladných výsledků může být nepravdivý positives, dokonce jestliže test na tu podmínku je (jinak) rozumně přesný.

Předpokládat, že test na zvláštní nemoc má velmi vysokou úspěšnou míru:

Předpokládat také, nicméně, to jediný 0.1% populace mít tu nemoc (tj. s pravděpodobností 0.001). My teď máme celou informaci vyžadovanou k použití Bayesův teorém vypočítat pravděpodobnost to, daný test byl pozitivní, že to je falešný pozitivní.

Nechaný být událost že pacient má nemoc, a B být událost že test vrátí kladný výsledek. Pak, používat druhou formu Bayesova teoréma (nahoře), pravděpodobnost pravdivý pozitivní je

a od této doby pravděpodobnost falešný pozitivní je o (1 a bez; 0.019) = 0.981.

Přes zřejmou vysokou přesnost testu, výskyt nemoci je tak minimum (jedno z tisíce) to drtivá většina pacientů, kteří testují pozitivní (98 v sto) nemají nemoc. (nicméně, toto je 20 měří proporci předtím my jsme znali výsledek testu! Test není neužitečný, a re-testování může zlepšit spolehlivost výsledku.) v tomto případě, Bayesův teorém pomůže ukázat, že přesnost testů na vzácné podmínky musí být velmi vysoká aby produkoval spolehlivé výsledky od jediného testu, náležitý k posibility falešného positives.

Odkazy

Verze eseje

Komentáře

Další materiál

Viz též