BCH kód

BCH (Bose-Chaudhuri-Hochquenghem) kód je multilevel, cyklický, chyba- korigovat, různě dlouhý digitální kód napravil omyly nahoru k přibližně 25 % úplného množství číslic.

Poznámka: BCH kódy nejsou omezené na binární kódy, ale smět být používán s multilevel fáze-posunout spojení klínem kdykoli množství úrovní je prvočíslo nebo síla prvočísla, takový jak 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, a 13. BCH kód v 11 úrovních byl použitý reprezentovat 10 desítkových číslic plus znamení číslice.

BCH kódy použijí teorii pole a polynomials přes to pole. Cesta polynomial kontroly je postaven poskytuje klíč k indikování že chyba nastala.

Jestliže my přejeme si postavit BCH kód odhalit a opravit 2 chyby my používáme pole GF (16) nebo Z₂[x] /x⁴+x+ 1 >

Nyní jestliže my máme a alpha; kořen x⁴+x+ 1, m₁(x) =x⁴+x+ 1. Nyní m₁ je minimální pro a alpha; protože

m₁(x) = (x- a alpha;) (x- a alpha;²) (x- a alpha;⁴) (x- a alpha;⁸) =x⁴+x+ 1.

Jestliže my přejeme si postavit kód opravit 1 chybu, kterou my používáme m₁(x). Naše kódová slova budou

C(x) a equiv; 0 (mod m₁(x))

který má kořeny a alpha;, a alpha;², a alpha;⁴, a alpha;⁸.

Toto nedovolí nám vybrat si mnoho kódových slov - tak my hledáme minimální polynomial pro chybějící sílu a alpha; seshora - a alpha;³, a pak minimální polynomial pro toto je

m₃(x) =x⁴+x³+x²+x+ 1.

který má kořeny a alpha;, a alpha;⁶, a alpha;¹², a alpha;²⁴= a alpha;⁹.

My trváme kódová slova mít všechny tito jako kořeny, tak my tvoříme polynomial

m_1,3(x) =m₁(x)m₃(x) =x⁸+x⁷+x⁶+x⁴+1

a vzít coodewords odpovídající polynomials míry 14 takový to

C(x) a equiv; 0 (mod m_1,3(x))

Tak teď C(a alpha;) =C(a alpha;²) =... =C(a alpha;⁸)=0. (*)

Nyní v GF (16) my máme 15 nonzero elementů a tak naše polynomial budou míry 14 s 8 kontrolou a 7 jednotek informace - my máme 8 kontrolních bitů od té doby, co my máme (*).

Kódování

Budovat naše kódové slovo informací jak

(c₁₄, c₁₃,..., c₈)

tak naše polynomial budou

c₁₄+c₁₃+... +c₈

Volat toto C_I.

My pak chceme objevit C_R takový to C_R=C_I (mod m_1,3(x)) =c₇+c₆+... +c₀

Tak my máme následující kódové slovo posílat C(x) = C_I+C_R (mod m_1,3(x)) = 0

Například, jestliže my máme kódovat (1, 1, 0, 0, 1, 1, 0)

C_I=x¹⁴+x¹³+x¹⁰+x⁹

a používat polynomial dlouhé dělení m_1,3(x) a C_I dostat C_R(x), v \ ' Z'₂ my trváme C_R být

x³+1

Tak pak kódové slovo posílat je

(1,1,1,0,0,1,1,0, 0,0,0,0,1,0,0,1)

Dekódování

Předpokládat, že my přijmeme vektor kódového slova r (polynomial R(x)).

Jestliže není tam žádná chyba R (a alpha;) = R (a alpha;³)=0

Jestliže je tam jeden chyba, ie r=c+e_i kde e_i reprezentuje ith vektor základu pro R¹⁴

Tak pak

S₁=R(a alpha;) =C(a alpha;) + a alpha;ⁱ= a alpha;ⁱ

S₃=R(a alpha;³) = C (a alpha;³) + (a alpha;³)ⁱ

= (a alpha;ⁱ)³=S₁³

tak my můžeme rozpoznat jednu chybu. Změna v bitové pozici ukázaný a alpha; ' s síla bude pomáhat nám opravit tu chybu.

Jestliže jsou tam dva chyby

r=c+e_i+e_j

pak

S₁=R(a alpha;) =C(a alpha;) + a alpha;ⁱ+ a alpha;^j

S₃=R(a alpha;³) = C (a alpha;³) + (a alpha;³)ⁱ+ (a alpha;³)^j

= (a alpha;³)ⁱ+ (a alpha;³)^j

který je ne stejný jak S₁³ tak my můžeme rozpoznat dvě chyby. Další algebra může pomáhat nám v opravení těchto dvou chyb.

Původní pramen (nejprve dva odstavce) od Federálních standardních 1037C