Benfordovo právo
Benfordovo právo, také volal první číslové právo, řekne to v číslech od mnoha zdrojů, vedoucí číslice 1 nastane hodně více často než jiní (jmenovitě asi 30 % času). Dále, vyšší číslice, méně pravděpodobně to má nastat jako vedoucí číslice čísla. Toto platí o číslech příbuzných přírodnímu prostředí nebo společenského významu; být to čísla vzatá od účtů za elektřinu, novinové články, adresy ulice, skladovat ceny, čísla populace, míry úmrtnosti, oblasti nebo délky řek nebo lékařské prohlídky a matematické konstanty.Více přesně, Benfordovo právo řekne to vedoucí číslice n (n = 1,..., 9) nastane s pravděpodobností žurnál10(n + 1) a bez; žurnál10(n), nebo
| Vedoucí číslice | Pravděpodobnost |
|---|---|
| 1 | 30.1 % |
| 2 | 17.6 % |
| 3 | 12.5 % |
| 4 | 9.7 % |
| 5 | 7.9 % |
| 6 | 6.7 % |
| 7 | 5.8 % |
| 8 | 5.1 % |
| 9 | 4.6 % |
Jeden může také formulovat zákon pro první dvě číslice: pravděpodobnost to první dva-blok číslice je se rovnat k n (n = 10,..., 99) je žurnál10(n+ 1) a bez; žurnál10(n).
To obecně vedoucí číslice 1 should být více obyčejný než jiné číslice mohou být dohodnuté takto: začít počítat od 1: 1, 2, 3,... Jak vy saháte 9, každá vůle číslice byli stejně pravděpodobně. Ale pak, od 10 k 19, vy jen máte vedoucí číslici 1, tak 1 dostane obrovský hlavní začátek. Jediný když vy saháte 99 budou všechny číslice stejně pravděpodobně znovu. Ale pak 1 dostane další obrovský hlavní začátek od 100 k 199. A tak to pokračuje: 1 má vždy vedení, kromě pro velmi vzácné výjimky (9, 99, 999, 9999,...).
Snad poněkud více přesně, předpokládat (kapitál) X je náhodná proměnná jehož pravděpodobnost bytí stejného s nějakým pozitivním celým číslem (malé písmo) x je konstanta časy xa bez;s, kde s > 1. Aforementioned “konstanta” musí pak být 1 / a zeta; (s), kde a zeta; je Riemann zeta fungují (viz distribuce zeta). Pravděpodobnost to první číslice X je n se blíží k žurnálu10(n + 1) a bez; žurnál10(n) jak s přístupy 1.
Přesná forma Benfordova práva může být vysvětlena jestliže jeden předpokládá, že logaritmy čísel být jednotně distribuovaný; toto znamená, že číslo je například spravedlivý jak pravděpodobný být mezitím 100 a 1000 (logaritmus mezi 2 a 3) jak to je mezitím 10,000 a 100,000 (logaritmus mezi 4 a 5). Pro mnoho souborů čísel, obzvláště ones to stát se geometricky takový jako příjmy a ceny akcií, toto je rozumný předpoklad.
Si všimnout toho pro čísla kreslená od mnoha distribucí, například IQ skóruje, lidské výšky nebo jiné proměnné po normálních distribucích, právo není platné. Nicméně, jestliže jeden “se mísí” číslo od těch distribucí, jak nastane například když odečte čísla od novinových článků, Benfordovo právo se objeví. Toto může být dokázané matematicky: jestliže jeden opakovaně “náhodně” choses rozdělení pravděpodobnosti a pak náhodně choses číslo shodovat se k té distribuci, výsledný seznam čísel bude dodržovat Benfordův zákon.
Agentury daně z příjmu a businessess účetnictví používají Benfordovo právo k podvodu bodu, zatímco lidé, kteří tvoří čísla inklinují rozdělit jejich číslice více jednotně.
Objev tohoto faktu se vrátí k 1881, když americký astronom Simon Newcomb si všiml toho první strany logaritmických knih (používaných u toho času vykonávat vypočítavosti), ones obsahovat čísla, která začínala 1, byl hodně opotřebovanější než jiné strany. Jev byl nově objevený v 1938 fyzikem Frank Benford, kdo kontroloval to na rozsáhlé změně na souborech dat a byl ctěn za to. V roce 1996, Ted Hill dokázal výsledek o smíšených distribucích zmínil se nahoře.
Reference:
- Frank Benford: Právo neobvyklých čísel, soudní řízení americké filozofické společnosti, 78 (1938), p. 551
- Ted Hill: První jev číslice, americký vědec 86 (červenec-srpen 1998), p. 358.