Bijection
bijection (nebo bijective fungují) je matematický fungovat to je oba injective (“osobní”) a surjective (“na”), a proto bijections jsou také nazvané osobní a na.
V jednoduchých termínech, bijective funkce vytvoří osobní korespondenci mezi jeho možnými vstupními hodnotami a možnými výstupními hodnotami. (v některých odkazech, fráze “osobní” je používán osamocený znamenat bijective. Wikipedia nedrží se tohoto staršího zvyku.)
Více formálně, funkce f: X a rarr; Y je bijective jestliže pro každý y v codomain Y tam je přesně jeden x v doméně X s f(x) = y.
Surjective, ne injective | Injective, ne surjective |
Bijective | Ne surjective, ne injective |
Když X a Y jsou oba reálná osa R, pak bijective funkce f: R a rarr; R moci být zobrazil jako jeden jehož graf je křižován přesně jednou nějakou horizontální linkou.
Jestliže X a Y jsou konečné soubory, pak tam existuje bijection mezi dvěma soubory X a Y jestliže a jediný jestliže X a Y mít stejné množství elementů. Zevšeobecňovat toto k nekonečným souborům vede k představě o kardinálním čísle, způsob, jak rozlišovat různé nekonečné velikosti nekonečných množin.
Zvažovat funkci f: R a rarr; R definovaný f(x) = 2x + 1. Tato funkce je bijective, protože daný libovolný reálné číslo y, my můžeme řešit y = 2x + 1 dostat se přesně jedno skutečné řešení x = (y a bez; 1) / 2.
Na druhé straně, funkce g: R a rarr; R definovaný g(x) = x2 je ne bijective, pro dva nezbytně různé důvody. Nejprve, my máme (například) g(1) = 1 = g(a bez; 1), tak to g injective; také, tam je (například) žádné reálné číslo x takový to x2 = a bez; 1, tak to g surjective jeden. Jeden jeden z těchto faktů je dost ukázat to g bijective.
Nicméně, jestliže my určíme funkci h: R+ a rarr; R+ stejnou rovnicí jak g, ale s doménou a codomain oba omezili se na jen nonnegative reálná čísla pak funkce h je bijective. Toto je protože, daný libovolné nonnegative reálné číslo y, my můžeme řešit y = x2 dostat se přesně jeden nonnegative skutečné řešení x = a radic;y.
- Funkce f: X a rarr; Y je bijective jestliže a jediný jestliže tam existuje funkce g: Y a rarr; X takový to g o f je funkce identity na X a f o g je funkce identity na Y. (V jazyce fantazie, bijections jsou přesně isomorphisms v kategorii souborů.) v tomto případě, g je jedinečně předurčený f a my voláme g inverzní funkce f a psát f a bez; 1 = g. Dále, g je také bijection a nepřímá úměrnost g je f znovu.
- Jestliže f o g je bijective, pak f je surjective a g je injective.
- Jestliže f a g jsou oba bijective, pak f o g je také bijective.
- Jestliže X je soubor pak bijective funkce od X k sobě, spolu s operací funkčního složení (o), tvořit skupinu, skupina symmetric X, který je označován různě S (X), SX, nebo X! (poslední čtení”X faktoriál”).
Viz též: Injective funkce, Surjection