Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Černý-Scholes

Černý-Scholes model, často jednoduše Černý-Scholes, je model rozlišné ceny přes čas finančních dokumentů, a zvláště akcie. Černý-Scholes rovnice je matematický vzorec pro teoretickou hodnotu Evropana dávat a volat možnosti akcie, které mohou být odvozeny z předpokladů o modelu. Rovnice byla odvozena Fisher černou a Myron Scholes; papír, který obsahuje výsledek byl vydáván v 1973. Oni stavěli na časnějším výzkumu Paul Samuelson a Robert Merton. Základní nahlédnutí Blacka a Scholes byl že vyžádané právo je implicitně ceněné jestliže akcie je vyměněna. Použití černé-Scholes modeluje a rovnice je pervasive ve finančních trhách.

Tabulka s obsahem
1 model
2 rovnice
3 rozšíření rovnice
4 původ rovnice
5 černé-Scholes v praxi
6 vidět také
7 externí odkazy a odkazy

Model

Klíčové předpoklady o černé-Scholes model být:

Rovnice

Nahoře vést k následujícímu receptu na cenu hovoru na akcii současně nakupovat u ceny S, kde volba má cenu cvičení K, tj. právo koupit podíl za cenu K, u T roky v budoucnosti. Konstantní úroková míra je r a nestálost stálých zásob je v:

kde
.

N je narůstající Normální distribuce fungovat.

Cena opčního prodeje může být počítána od tohoto daný-parita hovoru a zjednoduší k:

Řeci pod černou-Scholes model být také snadný počítat.

Rozšíření rovnice

Nad cenou volby rovnice je používána pro ceny Evropan dávat a volat volby v non -dividenda platit akcie. Černá-Scholes model může být snadno prodloužený k volbám v nástrojích platit dividendy. Pro volby v indexech (takový jak FTSE) kde každý 100 společností voliče může vyplatit dividendu dvakrát rok a tak je platba téměř každý pracovní den, to je rozumné předpokládat, že dividendy jsou placeny nepřetržitě. Platba dividendy placená přes časovou periodu je pak modelována jak

pro nějakou konstantu q. Pod touto formulací arbitráž-volná cena pod černou-Scholes model může být ukazován být

kde nyní

je upravená přední cena, která se vyskytuje v termínech.

Přesně stejný rovnice je zvyklá na cenové volby v mírách devizové burzy, kromě nyní q hraje roli cizího rizika-uvolnit úrokovou míru a S je bod devizový kurz. Toto je Garman-Kohlhagen model (1983).

To je také možné rozšířit černou-Scholes kostra k volbám v nástrojích platit jednotlivé dividendy. Toto je užitečné, když volba je udeřena na jediné akcii. Typický model má předpokládat, že podíl ceny akcií je vyplácen u pre-určovaly časy. Cena akcie je pak modelována jak

kde n (t) je množství dividend, které byly zaplacené v době t. cena hovorové volby v takové akcii je znovu

kde nyní
přední cena dividendy platí akcie.

Americké volby jsou těžší k hodnotě a volba modelů je dostupná (například Whaley, dvojčlen model možností).

Původ rovnice

1) černá-Scholes PDE

V této sekci my odvodíme parciální deferenciální rovnici (PDE) u srdce černé-Scholes model přes ne-arbitráž nebo delta-pojišťovat argument. Prezentace daný tady je neformální a my se nebojíme o platnost pohybování mezi dt znamenat malé zvýšení v čase a dt jako derivát.

Jak v modelových předpokladech nahoře my předpokládáme, že fundamentální (typicky akcie) následuje geometrický Brownian pohyb. To je,

kde W Brownian. Nyní nechat V být nějaký druh volby na S - matematicky V je funkce S a t. Ito je Lemma pro dva proměnné, které my máme

Nyní zvažovat portfolio sestávat z jedné jednotky volby V a - dV/dS jednotky fundamentální. Složení tohoto portfolia, volal deltu-pojistit portfolio, bude lišit se od času-krok k času-krok. Nyní zvažovat změnu v hodnotě

portfolia subbing v rovnici nahoře:

Tato rovnice obsahuje žádný termín. To je, to je zcela riskless. Tak, předpokládat žádnou arbitráž (a také žádné náklady transakce a nekonečný dodávat a domáhat se) rychlost návratu na tomto portfoliu musí být stejná s rychlostí návratu na nějakém jiném riskless nástroji. Nyní přijmout riziko-volná rychlost návratu je my musíme mít přes časovou periodu

Jestliže my nyní náhrada v pro a předěl přes my trváme Černý-Scholes PDE

S předpoklady o černé-Scholes modeluje, tato rovnice drží kdykoli V má dva deriváty s úctou k S a jeden s úctou k t.

2) od černé generála-Scholes PDE ke specifickému ocenění

My teď se ukážeme jak dostat se od černé generála-Scholes PDE ke specifickému ocenění pro tuto volbu. Zvážit to jako příklad černá-Scholes cena hovoru na akcii současně nakupovat u ceny S. Volba má cenu cvičení K, tj. právo koupit podíl za cenu K, u T roky v budoucnosti. Konstantní úroková míra je r a nestálost stálých zásob je v(všichni jak na vrcholu). Nyní, pro vyžádané právo PDE nahoře má hraniční podmínky:

pro všechny t
jak

Aby řešil PDE my proměníme rovnici na standard rovnice rozšiřování který může být řešen používat standardní metody. K tomuto souboru konce

Tak naše černá-Scholes PDE se stojí

kde. Podmínka terminálu teď se stane počáteční podmínkou. Jestliže my teď děláme další transformaci takový to

pak
standard rovnice rozšiřování jak požadovaný. Naše počáteční podmínka překládala k

Používat standardní metodu pro řešit rovnici rozšiřování, kterou my máme:

kde u0 je počáteční podmínka definovaná v řadě nahoře. Toto základní smět být dále přeměněn until my trváme:

kde
a je totožný k kromě toho (c + 1) je nahrazen (c-1) všude.

Substituting v pro u a V pro v, my konečně dostaneme hodnotu vyžádaného práva v podmínkách černé-Scholes parametry:

kde
.

N je narůstající Normální distribuce fungovat.

Recept na cenu opčního prodeje, vyplývá z tohoto přes daný-parita hovoru.

3) jiné původy

Nahoře my jsme používali metodu arbitráže- uvolnit cenu (“delta-ohrazovat se”) odvodit PDE se pojit s cenami volby daný černá-Scholes model. To je také možné použít rizikový neutrální argument. Tato druhá metoda dá cenu jako očekávání přínosu volby dolů zvláštní míra pravděpodobnosti, volal riziko-neutrální míra, který se liší od míry skutečného světa.

Černý-Scholes v praxi

Použití černé-Scholes rovnice je pervasive v trhách. Ve skutečnosti model stal se takový integrální část konvencí trhu že to je běžná praxe pro implikovanou nestálost poněkud než cena nástroje být citován. (všechny parametry v modelu jiný než nestálost - to je čas k expiry, stávka, riziko-uvolnit míru a aktuální základovou cenu - být unequivocably pozorovatelný. Toto znamená tam je relace mezi cenou volby a nestálostí.) obchodníci upřednostňují myslet v podmínkách nestálosti.

Nicméně, černá-Scholes model nemůže být modelovat skutečný svět kompletně přesně. Jestliže černá-Scholes model držel, pak implikovaná nestálost volby ve zvláštní akcii by byla konstantní, dokonce jak stávka a dospělost se měnili. V praxi, povrch nestálosti (dvojrozměrný graf implikované nestálosti proti stávce a dospělosti) není plochý. Ve skutečnosti, v typickém trhu, graf stávky proti implikované nestálosti pro fixovanou dospělost je typicky usmívat se- tvarovaný (viz úsměv nestálosti). To je, u-- peníze (volba pro kterého základová cena a stávka co-incide) implikovaná nestálost je nejnižší; ven---peníze nebo v-- peníze implikovaná nestálost inklinuje být vyšší. Důvod pro tento úsměv je ještě předmět hodně spekulování a výzkum. Prominentní navrhované vysvětlení je to trh ve volbách pryč od peněz je méně kapalina než u-- peníze: obchodníci žádají prémii od těchto možností, protože oni vědí, že to může jít více nesnadno obrátit volbovou pozici v illiquid trhách. Tento pohled je shodný s faktem úsměv byl nejprve pozorován brzy po srážce kapitálového trhu 1987. Před touto srážkou, první a nejhroznější od zavedení možností, černá-Scholes byl více široce věřil.

Viz též

Vnější spojení a odkazy