Booleovský prsten

V matematice, Booleovský prsten R je prsten pro kterého x² = x pro všechny x v R; to je, R sestává z idempotent elementů. Tyto prsteny vynoří se z (a dávat svah k) booleovské algebras. Jeden příklad je elektrický soubor nějakého souboru X, kde sčítání v kruhu je rozdíl symmetrica násobení je křižovatka.

Každý booleovský prsten R uspokojí x + x = 0 pro všechny x v R, protože my víme to

x + x = (x + x)² = x² + 2x² + x² = x + 2x + x

a my můžeme odečíst x + x od obou stran této rovnice. Podobný důkaz ukáže, že každý booleovský prsten je komutativní:

x + y = (x + y)² = x² + xy + yx + y² = x + xy + yx + y

a toto se vzdá xy + yx = 0, který znamená xy = a bez;yx = yx (používat první vlastnost nahoře).

Jestliže my vymezíme

x a a; y = xy,

x a nebo; y = x + y a bez; xy,

~x = 1 + x

pak tito uspokojí všechny axiómů pro setká se, spoje, a doplňky v booleovské algebře. Tak každý booleovský prsten s 1 se stane booleovskou algebrou. Podobně, každá booleovská algebra se stane booleovským prstenem s 1 tak:

xy = x a a; y,

x + y = (x a nebo; y) a a; ~ (x a a; y).