Borel-Cantelli lemma
V teorii pravděpodobnosti, Borel-Cantelli lemma je teorém o sledech událostí. V mírně obecnější formě, to je také výsledek v teorii míry.Nechaný (En) být sled událostí v nějakém prostoru pravděpodobnosti. Borel-Cantelli Lemma říká to
jestliže suma pravděpodobností En je konečný, pak pravděpodobnost to nekonečně mnoho z nich nastat je 0.
Poznamenejte, že žádný předpoklad nezávislosti je vyžadován.
Například, předpokládat (Xn) je sled náhodných proměnných, s P(Xn = 0) = 1 /n2 pro každého n. Součet P(Xn = 0) je konečný (ve skutečnosti to je a pi;2/ 6 - vidět Riemann zeta fungují), tak Borel-Cantelli Lemma říká, že pravděpodobnost Xn = 0 nastávat pro nekonečně mnoho n je 0. Jinými slovy, s pravděpodobností 1, Xn je nonzero pro všechny ale finitely mnoho n.
Pro obecné měřící prostory, Borel-Cantelli Lemma nabude následující tvar:
Nechal a mu; být míra na scéně X, s a sigma; - algebra F, a nechaný (n) být sekvence v F. Jestližepak a mu; (lim popíjejí n) = 0.
Vidět, že toto opravdu je zevšeobecňování verze daný dříve, si vzpomínat, že lim popíjejí n sestává z těch elementů, které jsou v n pro nekonečně mnoho hodnot n.
Podobný výsledek, někdy volal jednoho dva “Borel-Cantelli” lemmas, říká to jestliže události En jsou nezávislá osoba a suma jejich pravděpodobností rozchází se do nekonečna, pak pravděpodobnost to nekonečně mnoho z nich nastat je 1. (předpoklad o nezávislosti může být oslaben k nezávislosti pairwise, ale v tom případě důkaz je těžší.)