C-hvězda-algebra

^*- algebras být studován v funkční analýze a být použit v některých formulacích kvantové mechaniky. C^*- algebra je Banach algebra přes pole komplexních čísel, spolu s mapou ^* : -> volal involuci který má následující vlastnosti:

• (x + y)^* = x^* + y^* pro všechny x, y v
• (a lambda; x)^* = a lambda;^* x^* pro každý a lambda; v C a každý x v ; tady, a lambda;^* kandiduje na komplexní konjugaci a lambda;.
• (xy)^* = y^* x^* pro všechny x, y v
• (x^*)^* = x pro všechny x v
• ||^*| | = | |x| |² pro všechny x v .

C * algebras jsou také * algebras. Jestliže poslední vlastnost je vynechána, my mluvíme o ^*- algebra.

Tabulka s obsahem

1 * - Homormorphisms a * - Isomorphisms *- algebras 3 W * algebras *- algebras a kvantová polní teorie

* - Homormorphisms a * - Isomorphisms

Mapa f : -> B mezi B^*- algebras a B je volán * - homomorphism jestliže

• f je C- lineární
• f(xy) = f(x)f(y) pro x a y v
• f(x^*) = f(x)^* pro x v

Takový mapa f je automaticky spojitý. Jestliže f bijective, pak jeho inverzní je také * - homorphism a f je volán * - izomorfismus a a B být volán * - isomorphic. V tom případě, a B být pro všechny praktické cíle totožný; oni jen se liší v zápisu jejich elementů.

Příklady C^*- algebras

Algebra n- -n matrices přes C se stojí C^*- algebra jestliže my používáme maticovou normu | |. | |₂ vyvstávat jako norma operátora od Euclidean normy na Cⁿ. Involuce je dávána konjugovat přemístit.

Motivovat příklad C^*- algebra je algebra spojitých lineárních operátorů definovaných na komplexu Hilbert prostor H; tady x^* naznačuje adjoint operátora operátora x : H -> H. Ve skutečnosti, každý C^*- algebra je * - isomorphic k uzavřenému subalgebra takový algebra operátora pro vhodný Hilbert prostor H; toto je obsah Gelfand-Naimark teorém.

Příklad komutativní C^*- algebra je algebra C (X) celého komplexu-oceněné spojité funkce vymezily na kompaktní Hausdorff prostor X. Tady standard funkce je supremum jeho absolutní hodnotya operace hvězdy je komplexní konjugace. Každý komutativní C^*- algebra s elementem jednotky je * - isomorphic k takový algebra C (X) používat Gelfand reprezentaci.

Jestliže jeden začíná místně kompaktní Hausdorff prostor X a zvažuje komplex-cenil spojité funkce na X to zmizet u infinity (definovaný v článku o místní kompaktnosti), pak tito se tvoří komutativní C^*- algebra C₀(X); jestliže X je ne kompaktní, pak C₀(X) nemá element jednotky. Znovu, Gelfand reprezentace ukazuje to každý komutativní C^*- algebra je * - isomorphic k algebře formy C₀(X).

W * algebras

W * algebras být zvláštní druh C * algebra.

C^*- algebras a kvantová polní teorie

V kvantové polní teorii, jeden typicky popisuje fyzický systém s C^*- algebra s elementem jednotky; self-adjoint elementy (elementy x s x^* = x) být myšlenka jako observables, měřitelné kvantity, systému. stát systému je definován jak pozitivní funkční na ( C- lineární mapovat a phi;: -> C s a phi; (u u^*) > 0 pro všechny ua isin;) takový to a phi; (1) = 1. Finanční efekt pozorovatelný x, jestliže systém je v stavu a phi;, je pak a phi; (x).

Viďte Místní kvantovou fyziku.

---

Viz též algebra, asociativní algebra, * algebra, B * algebra.