Cantor funkce
Cantor funkce je funkce c : [0, 1] a rarr; [0, 1] definovaný takto:- Expres x v základě 3.
- Nahradit první 1 s 2 a všechno po tom s 0.
- Nahraďte celý 2s 1s.
- Interpretujte výsledek jako dvojkové číslo. Výsledek je c(x).
Tato funkce je nejvíce často uvedl příklad skutečné funkce, která je spojitá ale ne absolutně spojitý. To má žádný derivát u nějakého člena Cantor souboru; jeho derivát je 0 jinde. Prodloužený nalevo s hodnotou 0 a napravo s hodnotou 1, to je narůstající pravděpodobnostní distribuční funkce náhodné proměnné, která je jednotně rozdělena na Cantor scéně. Toto rozdělení pravděpodobnosti má žádnou jednotlivou roli, tj., to nekoncentruje pozitivní pravděpodobnost na nějakém místě. To také má žádnou část, která může být reprezentována hustotou rozložení; integrovat některého putative funkce hustoty pravděpodobnosti to není téměř všude nula přes nějakou pauzu bude dávat pozitivní pravděpodobnost k nějaké pauze ke kterému tato distribuce přiřadí nulu pravděpodobnosti. Viďte Cantor distribuci. Cantor funkce je standard příklad čeho je někdy nazýván schodištěm ďábla.
Dole my definujeme sled funkcí fn na pauze to sblíží se k funkci Cantora.
Nechaný f0(x) = x.
Pak fn+ 1(x) bude být definován v termínech fn(x).
Nechaný fn+ 1(x) = 0.5 fn(3x) když 0 a le; x a le; 1/3.
Nechaný fn+ 1(x) = 0.5 když 1/3 a le; x a le; 2/3.
Nechaný fn+ 1(x) = 0.5 + 0.5 fn(3 (x a bez; 2/3 )) když 2/3 a le; x a le; 1.
Poznamenat, že fn se sblíží k funkci Cantora. Také poznamenat, že volba zahájení funkce opravdu nevadí, poskytovaný f0(0) = 0 a f0(1) = 1 a f0 je ohraničený.