Cantorův úhlopříčný argument

Cantorův úhlopříčný argument je důkaz navržený Georgem Cantorem demonstrovat, že reálná čísla nejsou countably nekonečná. (to je také nazýváno argumentem diagonalization nebo úhlopříčným lomítkovým argumentem.)

Opačný k čemu mnoho matematiků věří, úhlopříčný argument nebyl první důkaz Cantora uncountability reálných čísel, ale byl vydával tři roky pozdnější. Jeho argument originálu nezmínil se o desítkových expanzích, ani některý jiný systém číslice.

Od tohoto technika byla nejprve použitá, podobné důkazové stavby byly použité mnohokrát v širokém rozsahu důkazů. Tito jsou také známí jako argumenty úhlopříčky analogií s argumentem používaným v tomto důkazu.

Cantorův originální důkazový výtěžek tím, že ukazuje to pauza (0, 1), to je, soubor reálných čísel větší než 0 a menší než 1, countably nekonečný.

důkaz rozporem pokračuje takto:

(1) převzít to pauza (0, 1) je countably nekonečný.
(2) my můžeme pak vyjmenovat čísla v této pauze jak sekvenci, { r₁, r₂, r₃, ... }
(3) my budeme nyní budovat reálné číslo x mezi 0 a 1 rozvažováním n^th číslice po desetinné tečce desítkové expanze r_n. Přijmout, například, že desítkové expanze začátku sekvence jsou takto.

      r₁ = 0. 0 1 0 5 1 1 0... 
      r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3...
      r₃ = 0. 8 2 4 5 0 2 6... 
      r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6...
      r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6... 
      r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8...
      r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 0 ......

Číslice, které my odkážeme zvažují být ukázán v tučný. Od těchto číslic my definujeme číslice x takto.

- jestliže n^th číslice r_n je 0 pak n^th číslice x je 1
- jestliže n^th číslice r_n je ne 0 pak n^th číslice x je 0

Pro příklad nahoře toto vyústí v následující desítkovou expanzi.

       x = 0. 1 0 0 1 0 0 1...

Číslo x je jasně reálné číslo mezi 0 a 1.

(4) nicméně, to liší se v n^th desetinné místo od r_n, tak x je ne v souboru { r₁, r₂, r₃, ... }.
(5) tento soubor je proto ne výčet všech reals v pauze (0, 1).
(6) toto odporuje s (2), tak předpoklad (1) to pauza (0, 1) je countably nekonečný muset být nepravdivý.

Poznámka: přísně mluvit, tento argument jen ukazuje to množství desítkových expanzí reálných čísel mezi 0 a 1 countably nekonečný. Ale protože tam jsou expanze takový jak 0.01999... a 0.02000... to reprezentovat stejné reálné číslo, toto okamžitě neznamená, že korespondenční soubor reálných čísel je také ne countably nekonečný. Toto může být napraveno tím, že zamítne desítkové expanze, které končí nekonečnou řadou 9 . V tom případě to může být ukazováno že pro každé reálné číslo je jedinečná korespondenční desetinová expanze. To jde snadno vidět, že důkaz pak ještě pracuje protože číslo x obsahuje jediný 1 a 0 je v jeho expanzi desetiny.

Úhlopříčný argument je příklad reductio inzerátového absurdum , protože to se ukáže jako jistý problém (pauza (0, 1) countably nekonečný) tím, že ukáže, že předpoklad o jeho negaci vede k rozporu.

Poznámka:nad argumentem, jak daný, je klamný, protože postavený x mohl být 0. Nicméně to přece se ukazuje jako to [0, 1) uncountable. Daný toto my můžeme snadno odvodit to (0, 1) uncountable: předpokládat, že to r1, r2,... počítal (0, 1). Pak dal s1 = 0, s2 = r1, s3 = r2,... pak s počty sekvence [0, 1) který byl ukazován nemožný -- tak (0, 1) je také uncountable.

Celková forma argumentu úhlopříčky byla používána Cantor se ukázat jako Cantorův teorém: pro každý soubor S elektrický soubor S, tj., soubor všech podmnožin S (tady psaný jak P(S)), je větší než S sám. Tento důkaz pokračuje takto:

Nechaný f být nějaká osobní funkce od S k P(S). To stačí ukázat se jako f moci ne být surjective. To znamená to nějaký člen P(S), tj., nějaká podmnožina S, je ne v obraze f. Ten soubor je

Jestliže T je v dosahu f, pak pro některé t a epsilon; S my máme T = f(t). Jeden t a epsilon; T nebo ne. Jestliže t a epsilon; T, pak t a epsilon; f(t), ale, samozřejmě T, to znamená t ne a epsilon; T. Na druhé straně, jestliže t ne a epsilon; T, pak t ne a epsilon; f(t), a samozřejmě T, to znamená t a epsilon; T. Jedna cesta, my máme contradition.

Všimnout si podobnosti mezi stavbou T a soubor ve Russellově paradoxu. Jeho výsledek může být zvyklý na přehlídku že ponětí o souboru všech souborů je rozporuplný pojem v normální teorie množin; jestliže by byl soubor všech zapadne pak P() odkázaný současně být větší než a podmnožina .

Obdoby argumentu úhlopříčky jsou široce použité v matematice se ukázat jako existence nebo nonexistence jistých objektů. Například, konvenční důkaz unsolvability váhavého problému je nezbytně argument úhlopříčky.

Argument úhlopříčky ukáže, že soubor reálných čísel je “větší” než soubor celých čísel. Proto, my můžeme se zeptat jestliže tam je soubor jehož mohutnost je “mezitím” to celých čísel a to reals. Tato otázka vede k slavný hypotéza kontinua. Podobně, otázka zda tam existuje soubor jehož mohutnost je mezitím s a P(s) pro některé s, vede k zevšeobecnil hypotézu kontinua.