Cantorův nejprve uncountability důkaz
| Tabulka s obsahem |
| 1 misconception 2 teorém 3 důkaz 4 skutečná algebraická čísla a skutečná transcendentní čísla |
Opačný k čemu nejvíce matematici věří, Georg Cantor' s první důkaz, že soubor všech reálných čísel je uncountable nebyl jeho slavný argument úhlopříčky, a nezmínil se o desítkových expanzích nebo některý jiný systém číslice. Teorém a důkaz dole byli nalezení Cantorem v prosinci 1873, a publikoval v 1874 v Crelle žurnálu, více formálně známý jak Žurnál für umřít Reine und Angewandte Mathematik (němčina pro Žurnál pro čistou a aplikovanou matematiku). Cantor objevil argument úhlopříčky v 1877. Teorém
Předpokládat soubor R je
- linearly spořádaný, a
- hustě spořádaný, tj., mezi nějakými dvěma členy tam je jiný, a
- má žádné “koncové body”, tj., nejmenší nebo největší členové, a
- má žádné mezery, tj., jestliže to je rozděleno do dvou souborů a B v takový cesta ten každý člen je méně než každý člen B, pak je bod hranice c, tak ten každý bod méně než c je v a každý bod větší než c je v B.
Důkaz
Důkaz začne tím, že převezme nějakou sekvenci x1, x2, x3,... má všechny R jako jeho rozsah. Definovat dvě jiné sekvence takto:
- 1 = x1.
- b1 = xi, kde i je nejmenší index takový to xi je ne se rovnat k 1.
- n+ 1 = xi, kde i je nejmenší index větší než jeden zvážil to v předchozím kroku takový to xi je mezitím n a bn.
- bn+ 1 = xi, kde i je nejmenší index větší než jeden zvážil to v předchozím kroku takový to xi je mezitím n+ 1 a bn.
Skutečná algebraická čísla a skutečná transcendentní čísla
Ve stejném papíru, publikoval v 1874, Cantor ukazoval to soubor všech skutečný algebraická čísla je počitatelný, a odvodil existenci transcendentních čísel jako důsledek. Ten důsledek dříve byl dokázaný docela odlišnými metodami Joseph Liouville.