Cantorův teorém

V teorii množin, Cantorův teorém řekne to soubor všech podmnožin nějakého souboru má přísně větší mohutnost než to . Zvláště, soubor všech podmnožin countably nekonečného souboru je uncountably nekonečný.

Důkaz

Důkaz je rychle argument úhlopříčky. Nechaný f být nějaká osobní funkce od do souboru všech podmnožin . To musí být ukazováno to f je nutně ne surjective. To dělá to, to je dost vystavit podmnožinu to není v obraze f. Ta podmnožina je

Ukazovat to B je ne v obraze f, předpokládat, že B je v obraze f. Pak pro některé y v , my máme f(y) = B. Nyní zvážit to zda y a epsilon; B nebo ne. Jestliže y a epsilon; B, pak y a epsilon; f(y), ale to znamená, samozřejmě B, to y ne a epsilon; B. Na druhé straně jestliže to je y ne a epsilon; B, pak y ne a epsilon; f(y) a proto y a epsilon; B. Jedna cesta, my dostaneme rozpor.

Historie

Ačkoli to je nazýváno “Cantorovým teorémem”, Cantor nikdy podal důkaz v přesně tato forma. Jeho první důkaz non-denumerability reals byl byl zapsán 1873 a publikoval v 1874 (viz Cantorův nejprve uncountability důkaz). Toto se nepodobá teorému vůbec.

Ve slavném papíru publikoval v 1891 (“Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”), kde důkaz úhlopříčky nejprve se objeví, tam je další důkaz pozdnější v tomto papíru, kde on si všimne toho jestliže f je funkce definovaná na X jehož hodnoty jsou 2-cenil funkce na X, pak 2-cenil funkci G(x) = 1 a bez; f(x) (x) je ne v dosahu f.

Russell má velmi podobný důkaz v Principech matematiky (1903, sekce 348, kde on ukazuje to že tam jsou více funkce propositional než objekty. “pro předpokládat korelaci všech objektů a některé funkce propositional k byli ovlivnil [sic] a nechané phi-x být korelovat x. pak “ne-phi-x (x),” tj. “phi-x nedrží x” je funkce propositional neobsažená v tomto korelace; pro to je pravdivý nebo nepravdivý x shodovat se jak phi-x je nepravdivý nebo pravdivý x, a proto to se liší od phi-x pro každou hodnotu x.” on přisuzuje nápad za důkazem k Cantorovi.

Ernst Zermelo má teorém (který on volá “Cantorův teorém”) to je totožné s formou nahoře v papíru, který stál se základem moderní teorie množin (“Untersuchungen über umřít Grundlagen der Mengenlehre já”), publikoval v 1908. Viďte Zermelo teorii množin.

Pro jeden důsledek Cantorova teoréma, viďte beth čísla.