Cantor soubor
Cantor soubor, pojmenoval podle Němce matematik Georg Cantor, významná stavba zahrne jediný reálná čísla mezi nulový a jeden.
Střední třetina (1/3, 2/3) je vymazán od pauzy [0, 1].
Od čeho je opuštěn, jmenovitě [0, 1/3] a pohár; [2/3, 1], “střední třetiny” jsou vymazány od každého dvou pauz. Pokračujte v tomto inzerátu procesu infinitum. Ilustrovaně, proces by vypadal jako něco jako toto:
0 1/3 2/3 1
| Tabulka s obsahem |
| 1: 2: 3 4 co je v souboru Cantora? 5 vlastností 6 Cantor soubor je uncountable 7 Cantor soubor je fraktál 8 Topological a analytické vlastnosti 9 variant Cantor souboru |
">
">
">
">
">
">
= = = = = = = = = = = = = = = = =
Otázka se stojí, co je opuštěno když vy jste děláni? Jestliže vy se sečtete délky segmentů odstranily, to by počítalo ven být:
Používat tento výpočet, vy můžete být překvapeni jestliže tam byl něco odešlo - nakonec, suma délek vzdálených pauz je stejná s délkou originální pauzy. Nicméně bližší pohled na proces ukáže, že my musíme mít něco vlevo, od té doby co odstranil “střed-třetiny” zahrnuté pauzy odstraňovat otevřené soubory (soubory, které nezahrnují jejich koncové body). Tak odstraňovat úsečku] 1/3, 2/3 [od originální pauzy [0, 1] zapomene body 1/3 a 2/3. Malý odraz přesvědčí vás rychle že oni budou nikdy být odstraněni, ve skutečnosti žádný z koncových bodů některý pauz u některého stádium v procesu bude vždy být odstraněno. Tak my víme to pro jistý, že soubor Cantora není prázdný.
To může vypadat, že jen koncové body jsou opuštěny, ale to by byla chyba. Číslo 1/4, pro příklad je ve spodní třetině, tak to není vzdálené u prvního kroku, a je ve špičkové třetině spodní třetiny, a je ve spodní třetině toho, a v špičkové třetině toho, a v spodní třetině toho, a tak na infinitum inzerátu -- se střídat mezi třetinou vrcholu a spodní třetinou. Protože to je nikdy v jednom z středních třetin, to je nikdy odstraněno a přesto to je také ne jeden z koncových bodů nějaké střední třetiny.
To může být ukazováno to tam je tolik bodů zapomenutých v tomto procesu, zatímco tam byli ti to bylo odstraněno. Vidět toto, zvážit smysly v [0, 1] pauza v podmínkách základu 3 (nebo trojice) notace. V tomto zápisu, 1/3 moci být psán jak 0.1 a 2/3 moci být psán jak 0.2. Jestliže my odstraníme všechno od 1/3 a 2/3 my opravdu odstraníme všechno mezitím 0.1 a 0.2, nebo jinými slovy, ' všechno s 1 v první pozici po bodu (kromě pro 0.1 sám, ale protože 0.1 = 0.02222222..., my můžeme reprezentovat to bez používání jeden z nějaké pozice).
Příští krok zkoumá pauzy [0, 0.1] a [0.2, 1] a odstraní jejich střední třetiny. V tomto případě my odstraníme všechno mezitím 0.01 a 0.02 v první pauze a mezi 0.21 a 0.22 ve druhé pauze, nebo jinými slovy, všechno s 1 ve druhé pozici po bodu. Do doby vy jste děláni, čísla, která zůstanou jsou ti to může být reprezentováno v trojici (základ 3) notace s ne ' 1 ' na nějakém svém místě.
Řečený jiný způsob, Cantor soubor sestává ze všech čísel mezitím 0 a 1 to může být reprezentované používání jen 0 a 2 je v zápisu trojice. Proto, čísla v Cantor souborové plechovce jsou mapována na číslech v [0, 1] narazením každý 2 v expanzi trojice s 1, a brát výsledek jako binární expanzi. Tak je jich tam tolik důvody k souboru Cantora jak tam být v [0, 1], a Cantor soubor je uncountable (viz Cantorův úhlopříčný argument). Protože soubor koncových bodů vzdálených pauz je počitatelný, tam muset být uncountably mnoho čísel v souboru Cantora který být ne koncové body pauzy. Jeden příklad takový číslo je 1/4, který může být psán jak 0.02020202020... v zápisu trojice.
Cantor soubor je prototyp fraktálu. To je self-podobný, protože to je stejné se dvěma kopiemi sebe, jestliže každý výtisk je zmenšen faktorem 1/3 a překládal. Jeho Hausdorff rozměr je stejný s ln (2) / ln (3). To může být tvořeno tím, že protíná Sierpinski koberec s některým jeho řad reflectional symetrie (takový jako četba centrum scanline).
Topological a analytické vlastnosti
Jak nad shrnutím argument se ukáže, Cantor soubor je uncountable ale má Lebesgue míru 0. Protože Cantor soubor je doplněk odboru otevřených souborů, to sám je uzavřená podmnožina reals, a proto kompletní metrický prostor. Protože to je také ohraničené, teorém Heinea-Borel říká, že to musí být kompaktní.
Vyberte si nějaký důvod k souboru Cantora. V nějakém libovolně malém sousedství, tam je nějaké jiné číslo, které může být reprezentováno jako číslo trojice s jediný 0 a 2 . Proto, každý důvod k souboru Cantora je hromadný bod. Uzavřené soubory ve kterém každý bod je hromadný bod je také nazýván úplnou množinou v topologii.
Znovu, si vybrat nějaký důvod k souboru Cantora (který je sám podmnožina pauzy jednotky). Nějaké libovolně malé sousedství kolem toho bodu obsahuje otevřený soubor v pauze jednotky, která je disjoint od Cantor souboru. Tak Cantor soubor je nikde hustý v pauze jednotky a totálně rozpojený.
To hodnota všimne si toho jako prostor topological, Cantor soubor je homeomorphic k produktu countably mnoho kopie prostoru {0, 1}, kde každý výtisk nese jednotlivou topologii. Toto může být zvyklé na přehlídku že Cantor soubor je homogenní v pocitu, že pro nějaké dva body x a y v souboru Cantora C, tam existuje homeomorphism f : C a rarr; C s f(x) = y. Vidět Cantor prostor pro více na homeomorphic prostorů k souboru Cantora.
Cantor soubor je také homeomorphic k p-adic celá čísla, a, jestliže jeden bod je odstraněn od toho, k p-adic čísla.
Cantor soubor může být charakterizován těmito vlastnostmi: každé nonempty totálně-rozpojený dokonalý kompaktní metrický prostor je homeomorphic k souboru Cantora.
Místo toho, aby opakovaně odstranil střední třetinu každého kusu jak je uvedeno výše, my jsme mohli také nepřestávat odstranit nějakou jinou pevnou sazbu (jiný než 0 % a 100 %) od středu. Výsledné soubory jsou celý homeomorphic k souboru Cantora postavil nahoře a také mít Lebesgue míru 0.
Tím, že odstraní postupně menší procenta zbývajících kusů v každém kroku, jeden může také postavit homeomorphic souborů k souboru Cantora to mít pozitivní Lebesgue míru.
Viz též Cantor funkce a Cantor prostor.