Cantor prostor

Termín je někdy používán naznačovat abstrakci topological klasický Cantor soubor: Topological prostor je řekl, aby byl prostor Cantora jestliže to je homeomorphic k Cantor souboru.

Cantor soubor sám je samozřejmě Cantor prostor. Ale kanonický příklad Cantor prostoru je countably nekonečný topological produkt jednotlivý 2-prostor bodu. Toto je obvykle označováno

nebo

(kde označí 2-element zapadl

s jednotlivou topologií).

Bod v je infinte binární sekvence, to je sled, který přijme jen hodnoty 0 nebo 1. Daný takový sekvence, jeden může mapovat to k reálnému číslu

.

To není obtížné vidět, že toto mapování je homeomorphism od na Cantor souboru, a od této doby to

je prostor Cantora.

Topological charakterizace Cantor prostorů je dána Brouwerovým teorémem: Nějaké dva kompaktní Hausdorff prostory bez izolovaných bodů a vlastnění počitatelných základů consisiting clopen souborů jsou homeomorphic ke každému jiné. Teorém může také být zopakován jak: Topological prostor je prostor Cantora jestliže a jediný jestliže to je dokonalý, kompaktní, totálně rozpojený, metrizable prostor. To je také ekvivalent (přes Dualitu kamene) ke skutečnosti, že nějaké dva počitatelné atomless booleovské algebras isomorphic.

Topological vlastnictví přimět základ sestávat ze souborů clopen je někdy známý jak “nula-dimesionality.”

Jak moci být očekáván od Brouwer je teorém, Cantor prostory se objeví v několika formách. Ale to je obvykle nejsnadnější k dohodě s, protože protože jeho zvláštní produktové formy, mnoho topological a jiných vlastností je vydáno velmi výslovně.

Například, to stane se zřejmé, že mohutnost nějakého Cantor prostoru je, to je, mohutnost kontinua. Také jasný je skutečnost, že produkt dva (nebo vyrovnat nějaké konečné nebo počitatelné číslo) Cantor prostory je prostor Cantora - důležitý fakt o prostorech Cantora.

Používat tento poslední fakt a Cantor funkci, to jde snadno budovat prostor-plnit křivky.

Cantor mezery vznikají v hojnosti ve skutečné analýze. Například oni existují jak subspaces v každý dokonalý, dokončit metrický prostor. (vidět toto, si všimnout toho v takový prostor, nějaké non-prázdná úplná množina obsahuje dva disjoint non-vyprázdnit dokonalé podmnožiny libovolně malého průměru, a tak jeden může napodobit stavbu obvyklý Cantor soubor.) také, každé uncountable, oddělitelný, kompletně metrizable prostor obsahuje Cantor prostory jako subspaces. Toto zahrnuje většinu z obyčejného druhu prostorů ve skutečné analýze. Jako důsledek, my vidíme to oddělitelný, kompletně metrizable prostory uspokojí Hypotézu kontinua: Každý takový prostor je jeden počitatelný nebo má mohutnost kontinua.

Kompaktní metrické prostory jsou také blízko příbuzné Cantor prostorům: Hausdorff topological prostor je kompaktní metrizable jestliže a jediný jestliže to je nepřetržitá představa o prostoru Cantora.