Karteziánská uzavřená kategorie

V teorii kategorie, kategorie je kartézská uzavřený jestliže, ostře mluvit, nějaké morphism definované na produktu dvou objektů mohou být přirozeně identifikoval se s morphism definovaným na jednom z faktorů. Tyto kategorie jsou zvláště důležité ve formální logice a teorii programování, v tom oni poskytují přirozené nastavení pro počet lambda. Pro zevšeobecňování tohoto pojmu ke kategoriím monoidal, viďte uzavřenou monoidal kategorii.

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem Cartesian closed category. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

Definice

Kategorie C je volán Cartesian uzavřený jestliže a jediný jestliže to uspokojí pokračování tři vlastnosti:

• To má objekt terminálu.
• Nějaké dva objekty X a Y C mít produkt X × Y v C.
• Nějaké dva objekty Y a Z C mít exponenciální Z^Y v C.

První dvě podmínky mohou být kombinovány k jedinému požadavku, že některý konečný (možná prázdná) rodina objektů C připustit produkt v C, protože přirozeného associativity kategorického produktu a protože prázdný produkt v kategorii je terminálový předmět té kategorie.

Třetí podmínka je ekvivalentní k požadavku, že functor – ×Y (tj. functor od C k C to mapuje objekty X k X×Y a morphisms? k? × id_Y) má pravé adjoint, obvykle označil –^Y, pro všechny objekty Y v C. Toto podle pořadí, je vyjádřen existencí bijection mezi hom-soubory

který je přirozený v obou X a Z.

Jestliže kategorie je taková to všichni jeho řezové kategorie jsou kartézské uzavřený, pak to je voláno místně kartézský uzavřený.

Příklady

Příklady kartézských uzavřených kategorií obsahují:

• Kategorie Soubor všichni soubory, s funkce jako morphisms, je kartézský uzavřený. Produkt X×Y je kartézský součin X a Y, a Z^Y je soubor všech funkcí od Y k Z. Adjointness je vyjádřen následujícím faktem: funkce f : X×Y ? Z je přirozeně identifikoval se s curried funkce g : X ? Z^Y definovaný g(x) (y) = f(x,y) pro všechny x v X a y v Y.
• Kategorie konečných množin, s funkcemi jako morphisms, je kartézský zavřený kvůli stejnému důvodu.
• Jestliže G je skupina, pak kategorie všech G-soubory je kartézský uzavřený. Jestliže Y a Z být dva G- soubory, pak Z^Y je soubor všech funkcí od Y k Z s G akce vymezila (g.F) (y) = g. (F (g^{- 1}. y )) pro všechny g v G, F:Y ? Z a y v Y.
• Kategorie konečný G-soubory je také kartézský uzavřený.
• Kategorie Cat všech malých kategorií (s functors jak morphisms) je kartézský uzavřený; exponenciální C^D je dáván functor kategorie sestávat ze všech functors od D k C, s přirozené transformace jako morphisms.
• Jestliže C je malá kategorie, pak functor kategorie Soubor^C sestávat ze všech covariant functors od C do kategorie souborů, s přirozené transformace jako morphisms, je kartézský uzavřený. Jestliže F a G jsou dva functors od C k Soubor, pak exponenciální F^G je functor jehož hodnota na objektu X C je dán souborem všech přirozených transformací od (X,?)   ×  G k F.
  • Časnější příklad G-soubory mohou být viděny jako zvláštní případ functor kategorií: každá skupina může být zvažována jak jeden-kategorie objektu, a G-soubory jsou nic ale functors od této kategorie k souboru
  • Kategorie všech orientovaných grafů je kartézská uzavřený; toto je kategorie functor jak vysvětlil dolů functor kategorii.
• V algebraické topologii, kartézské uzavřené kategorie jdou zvláště snadno pracovat s. Žádný kategorie topological prostorů se spojitými mapami ani kategorie hladkého manifolds s hladkými mapami je kartézská uzavřený. Kategorie náhrady proto byly považovány: kategorie compactly vytvořených Hausdorff prostorů je kartézská uzavřený, jak je kategorie Frölicher prostory.
• V teorie objednávky, kompletní částečné objednávky (cpos) mít přirozenou topologii, Scott topologie, jehož nepřetržité mapy přece tvoří kartézskou uzavřenou kategorii (to je, objekty jsou cpos a functors jsou Scott spojitý mapy). Oba currying a platit jsou spojité funkce v Scotte topologie, a currying, spolu s platit, stanoví adjoint.
• Heyting algebra je kartézský uzavřený poset. Důležitý příklad vynoří se z prostory topological. Jestliže X je prostor topological, pak otevřené soubory v X tvořit předměty kategorie O (X) pro kterého je jedinečný morphism od U k V jestliže U je podmnožina V a žádné morphism jinak. Tento poset je kartézská uzavřená kategorie: “produkt” U a V je křižovatka U a V a exponenciální U^V je vnitřek U? (X\V).

Následující kategorie nejsou kartézské uzavřený:

• Kategorie všech vektorových prostorů přes nějaké fixované pole není kartézská uzavřený; žádný je kategorie všech konečná-rozměrné vektorové prostory. Zatímco oni mají produkty (volaly přímé součty), functors produktu nemají právo adjoints. (oni jsou, nicméně, monoidal symmetric zavřel kategorie: soubor lineárních transformací mezi dvěma vektorovými prostory tvoří další vektorový prostor, tak oni jsou zavřeni, a jestliže jeden nahradí produkt tensor produkt, podobný izomorfismus existuje mezi prostory Homa.)
• Kategorie skupin abelian není kartézská uzavřený, z stejném důvodu.

Aplikace

V kartézských uzavřených kategoriích, “funkce dvou proměnných” (morphism f:X×Y ? Z) moci vždy být reprezentován jako “funkce jedné proměnné” (morphism?f:X ? Z^Y). V informatika aplikace, toto je znáno jak currying; to vedlo k pochopení, že jednoduše-napsaný lambda počet moci být interpretován v nějaké kartézské uzavřené kategorii.

Curry-Howard-Lambek korespondence poskytuje hluboký izomorfismus mezi logikou intuitionistic, prostě-psal lambda počet a kartézské uzavřené kategorie.

Jisté kartézské uzavřené kategorie, topoi, byli navrhováni jako obecné nastavení pro matematiku, místo tradiční teorie množin.

Proslulý počítačový odborník John Backus obhajoval proměnnou-osvobodit zápis nebo funkci-vyrovnaný programovací, který v retrospect nese nějakou podobnost s vnitřním jazykem kartézských uzavřených kategorií. CAML je více vědomě modelován podle kartézských uzavřených kategorií.

Equational teorie

V každé kartézské uzavřené kategorii (používat exponenciální notaci), (X^Y)^Z a (X^Z)^Y být isomorphic pro všechny objekty X, Y a Z. My píšeme toto jako “rovnice”

Jeden může žádat o co jiné takové rovnice jsou platné ve všech kartézských uzavřených kategoriích. To vypne to všichni je následovat logicky od následujících axiómů:

• x × (y × z) = (x × y) × z
• x × y = y × x
• x × 1 = x (tady 1 označuje objekt terminálu C)
• 1^x = 1
• x¹ = x
• (x×y)^z = x^z×y^z
• (x^y)^z = x^{(y × z)}

Odkazy

1. ^ H.P. Barendregt, Lambda počet, (1984) na sever-Holandsko ISBN 0-444-87508-5 (Vidět teorém 1.2.16)
2. ^ S. Soloviev. “kategorie konečných množin a karteziánských uzavřených kategorií”, žurnál matematiky sovětu, 22, 3 (1983)