Kartézský součin

V matematice, daný dva soubory X a Y, Kartézský součin (nebo nařídit produkt) dvou souborů, psaný jak X × Y je soubor všech spořádaných párů s prvním prvkem každého páru vybraný od X a druhý element vybral od Y.

X × Y = {(x,y) | x v X a y v Y }

Například, jestliže soubor X je 13-element zapadl {, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} a soubor Y je 4-element zapadl {piky, srdce, diamanty, kluby}, pak karteziánský produkt těch dvou souborů je 52-element zapadl {(, piky), (K, piky),..., (2, piky), (, srdce),..., (3, kluby), (2, kluby)}. Další příklad je 2-rozměrné letadlo R × R kde R je soubor reálných čísel - všechny body (x,y) kde x a y jsou reálná čísla (viz Karteziánská souřadnicová soustava). Podmnožiny kartézského součinu jsou nazývány binárními relacemi.

Binární kartézský součin může být celkový k n- ary kartézský součin přes n soubory X₁,... ,_n:

X₁ × ... × _n = {(x₁,... ,_n) | x₁ v X₁ a... a _n v _n }

Opravdu, to může být poznáno k (X₁ × ... × _n-1) × _n. To je soubor n- n-tice.

Příklad tohoto je Euclidean 3-prostor R × R × R, s R znovu soubor reálných čísel.

Jako pomoc jeho výpočtu, stůl může být načrtnut, s jedním souborem jako řádky a jiný jako sloupce a tváření spořádané páry, buňky stolu tím, že si vybere prvek souboru od řady a sloupce.

Děti mohou být představeny k kartézskému součinu známým kalendářem:

• týdny jako řádky;
• pracovní dny jak sloupce;
• daný den jako buňka.

Kartézský součin je jmenován po Rene Descartes jehož formulace analytické geometrie dala svah tomuto pojetí.

Kartézský součin může být zvyklý na graf matematické vlastnosti, jak v Graphing rovnocennosti a Graphing produkt úhrnu.

Nekonečné součiny

Nahoře definice je obvykle všichni to je potřebováno pro nejobvyklejší matematické aplikace. Nicméně, to je dokonce možné definovat kartézský součin přes libovolně nekonečná sbírka souborů. Jestliže Já je nějaká množina indexů, a {_i | i v Já} je sbírka souborů indexovaná Já, pak my vymezíme

tj. soubor všech funkcí definovaných na indexové scéně takový to hodnota funkce u zvláštního indexu i je element _i. Toto úhledně se shoduje s konečným případem, když Já je konečná množina, říkat {1, 2,..., n}; nějaká taková funkce f definovaný na Já je prostě poznán s n- n-tice (f(1), f(2),..., f(n )). V nekonečném případě toto může být myšlenka jak infinity-n-tice. Dobývat jinou cestu kolem, n- n-tice může být viděna jako funkce na {1, 2,..., n} to prostě vezme jeho hodnotu u i být ith pozice n-tice.

Jeden zvláštní a známý nekonečný případ je, když množina indexů je, přirozená čísla: toto je jen soubor všech nekonečných sekvencí s ith termín v jeho korespondenčním souboru _i. Jakmile znovu, trusty starý poskytuje příklad tohoto:

je sbírka nekonečných sledů reálných čísel, a to je snadno zobrazil jako vektor nebo n-tice s nekonečným počtem součástí. Další zvláštní případ (nahoře příklad také uspokojí toto) je když všechny faktory _i zapojený do produktu být stejný, být jako “kartézské umocňování.” pak velký svaz v definici je jen soubor sám, a jiná podmínka je trivially uspokojená, tak toto je jen soubor všech funguje od Já k X.

Jinak, nekonečný kartézský součin je méně intuitivní; ačkoli cenný v jeho použitích ve vyšší matematice. Ve skutečnosti, tvrdit dokonce zda nebo ne kartézský součin je prázdná množina je jeden z formulací axioma výběru.

Viz též: Matematika, Teorie množin, Seskupit přímý produkt