Teorie kategorie
Teorie kategorie je matematická teorie, která obchoduje s cestou souhrnu s matematickými strukturami a vztahy mezi nimi. To je polovina-jokingly známé jako “abstraktní nesmysl”.
Vidět seznam kategorie témata teorie pro zhroucení významných Wikipedia stran.
kategorie pokouší se zachytit příchuť třídy příbuzných matematických objektů, například třída skupin. Místo toho, aby se zaměřil na individuální objekty (skupiny) jak byl dělán tradičně, morphisms, tj. struktura chránit mapy mezi těmito objekty, být zdůrazněn. V příkladě skupin, tito jsou homomorphisms skupiny. Pak to stane se možné líčit různé kategorie functors, zevšeobecňování funkcí který kolega ke každému předmětu jedné kategorie předmět další kategorie a ke každému morphism v první kategorii morphism ve vteřině. Velmi obyčejně, jistý “přirozené stavby”, takový jako základní skupina prostoru topological, moci být vyjádřen jako functors. Dále, různé takové stavby jsou často “přirozeně příbuzné” který vede k představě o přirozené transformaci, cesta k “mapě” jeden functor k jinému. Skrz matematiku, jeden se setká s “přirozeným isomorphisms”, věci, které jsou (nezbytně) stejné v “kanonické cestě”. Toto je děláno přesný zvláštními přirozenými transformacemi, přirozené isomorphisms. Historické poznámky
Kategorie, functors a přirozené transformace byli představeni Samuel Eilenberg a Saunders MacLane v 1945. Zpočátku, pojmy byly aplikovány v topologii, obzvláště algebraická topologie, jako důležitá část přechodu od homology (intuitivní a geometrické pojetí) k teorii homology, axiomatický přístup. To bylo prohlásené, například nebo na behalf Ulam, že srovnatelné nápady byly aktuální v pozdnější třicátá léta v polské škole.
Eilenberg/MacLane říkal, že jejich cíl měl rozumět přirozeným transformacím; aby dělal to, functors musely být definován; a určit functors jedny potřebované kategorie.
Následný vývoj teorie byl poháněn nejprve výpočetními potřebami algebry homological; a pak axiomatickýma potřebami algebraické geometrie, pole nejvíce odolné proti Russellu-Whitehead pohled na sjednocené základy. Teorie všeobecné kategorie - aktualizoval algebru univerzálie s mnoha novými rysy počítat s sémantickou ohebností a vyšší-objednávat logiku - přišel potom; to je nyní aplikováno skrz matematiku.
Speciální kategorie volaly topoi může dokonce sloužit jako alternativa k axiomatické teorii množin jak založení matematiky. Tyto všeobecné foundational aplikace teorie kategorie jsou svárlivé; ale oni byli cvičil v docela nějaký detail, jako komentář na nebo východisko pro konstruktivní matematiku. Jeden může říkat, zvláště, ta axiomatická teorie množin ještě nebyla nahrazená kategorií-teoretický komentář k tomu, v každodenním použití matematiků. Myšlenka na přinášející kategorii teorie do dříve, učení vysokoškoláka (znamenaný rozdílem mezi Birkhoff - Mac Lane a pozdnější Mac Lane-Birkhoff abstraktní algebra texty) má hit nápadnou opozici.
Kategorická logika je teď přesně stanovené pole založené na teorii typu pro intuitionistic logics, s použitím v teorii funkčního programování a teorie domény, všichni v nastavení kartézské uzavřené kategorie jak non-syntaktický druh lambda počtu. U velmi nejméně, použití kategorie jazyk teorie dovolí jednoho objasnit co přesně tyto příbuzné oblasti mají v obyčejný.
kategorie sestává z:
- třída věcí volal objekty.
- pro každý dva objekty a B soubor Mor (,B) věcí nazvaný morphisms od k B. Jestliže f je v Mor (,B), my píšeme f : -> B.
- pro každý tři objekty , B a C binární operace Mor (,B) x Mor (B,C) -> Mor (,C) volal složení morphisms. Složení f : -> B a g : B -> C je psán jak g o f nebo gf. (někteří autoři píší to jak fg.)
- (associativity) jestliže f : - > B, g : B - > C a h : C - > D pak h o (g o f) = (h o g) o f, a
- (identita) pro každý objekt X tam existuje morphism idX : X -> X nazvaný identita morphism pro X, takový to pro každý morphism f : - > B my jsme idB o f = f = f o id
Jestliže třída objektů je vlastně soubor, kategorie je řekl, aby byl malý. Mnoho důležitých kategorií není malé.
Každá kategorie je představována v podmínkách jeho objektů a jeho morphisms.
- Kategorie Grp sestávat ze všech skupin spolu s jejich homomorphisms skupiny.
- Kategorie VectK všech vektorových prostorů přes pole K spolu s jejich K-lineární mapy.
- Kategorie Soubor všech souborů spolu s funkcemi mezi soubory.
- Kategorie Vrchol všech prostorů topological s nepřetržitými funkcemi.
- Nějaký částečně spořádaný soubor (P, a le;) tvoří malou kategorii, kde objekty jsou členové P, a morphisms jsou cílení šipek od x k y přesně když x a le; y.
- Nějaký monoid tvoří malou kategorii s jediným objektem x, a kde každý prvek monoid je morphism od x k x (monoid operace dá kategorické složení morphisms). Ve skutečnosti, jeden může vidět kategorie jako zevšeobecňování monoids; několik definice a teorémy o monoids mohou být celkoví pro kategorie.
- Některý řídil graf může být považován za malou kategorii: objekty jsou vertices grafu a morphisms jsou cesty v grafu. Složení morphisms je zřetězení cest.
- Jestliže Já je soubor, jednotlivá kategorie na já je malá kategorie, která má elementy Já jako objekty a jen identita morphisms jak morphisms.
- Jakákoliv kategorie C může sám být považován za novou kategorii v různé cestě: objekty jsou stejné jako ti v kategorii originálu ale šipkách jsou ti originálu kategorie se obrátila. Toto je voláno dvojí nebo kategorie opaku a je označován Coperace.
- Jestliže C a D jsou kategorie, jeden může tvořit kategorii produktu C x D: objekty páry sestávají z jednoho objektu od C a jeden od D, a morphisms jsou také páry, sestávat z jednoho morphism v C a jeden v D. Takové páry mohou být složeny componentwise.
Druhy morphisms
Morphism f : -> B je volán
- monomorfismus jestliže 1 = 2 implikuje 1 = 2 pro všechny morphisms 1, 2 : X -> .
- epimorphism jestliže 1f = 2f implikuje 1 = 2 pro všechny morphisms 1, 2 : B -> X.
- izomorfismus jestliže tam existuje morphism g : B -> s fg = idB a gf = id.
- automorphism jestliže f je izomorfismus a = ' ' B ' \ '.
- endomorphism jestliže = B.
Objekt kategorie C je volán
- parafovat, jestliže pro každý objekt B tam je jedinečný morphism -> B. Například, prázdná množina je počáteční objekt v kategorii souborů.
- terminál, jestliže pro každý objekt B tam je jedinečný morphism B -> . Například, každý singleton (soubor s jedním elementem) je objekt terminálu v kategorii souborů.
Functors
Functors je struktura-chránit mapy mezi kategoriemi.
(Covariant) functor F od kategorie C ke kategorii D
- kolegové ke každému objektu X v C objekt F(X) v D;
- kolegové ke každému morphism f:X- >Y morphism F(f):F(X) - >F(Y)
- F(idX) = idF(X) pro každý objekt X v C.
- F(g o f) = F(g) o F(f) pro všechny morphisms f : X -> Y a g : Y -> Z.
An důležitý následek axiómů functor je toto: jestliže f je izomorfismus v C, pak F(f) je izomorfismus v D.
Dvojí vectorspace: příklad contravariant functor od kategorie všech skutečně vektorové prostory ke kategorii všech skutečných vektorových prostorů je dáván tím, že zadá každému prostoru vektoru jeho dvojí prostor a ke každé lineární mapě jeho dvojí nebo přemístit.
Algebra spojitých funkcí: contravariant functor od kategorie prostorů topological (se spojitými mapami jak morphisms) ke kategorii skutečně asociativní algebras je dáván tím, že zadá každému prostoru topological X algebra C (X) všichni skutečný-cenil spojité funkce na tom prostoru. Každá nepřetržitá mapa f : X -> Y přiměje homomorphism algebry C (f): C (Y) -> C (X) pravidlem C (f) (a phi;) = a phi; o f pro každý a phi; v C (Y).
Homomorphism skupiny: ke každému páru , B abelian skupiny a moci přiřadit abelian seskupit Homa (,B) sestávat ze všech homomorphisms skupiny od k B. Toto je functor, který je contravariant v první a covariant ve druhém argumentu, tj. to je functor Aboperace x Ab -> Ab (kde Ab označuje kategorii abelian skupin se skupinou homomorphisms). Jestliže f : 1 -> 2 a g : B1 -> B2 jsou morphisms v Abpak homomorphism skupiny Hom (f,g): Hom (2,B1) -> Hom (1,B2) je dáván a phi; |-> g o a phi; o f.
\Zapomnětlivé functors: functor F : Prsten - > Ab který mapuje prsten k jeho fundamentální abelian přísada skupina. Morphisms v Prstenu (homomorphisms prstenu) se stanou morphisms v Ab (abelian homomorphisms skupiny).
Tensor produkty: jestliže C označuje kategorii vectorspaces přes fixované pole, s lineárními mapami jak morphisms, pak tensor produkt VW definuje functor C x C -> C který je covariant v obou argumentech.
Algebras lži: zadat každý skutečný (komplex) Skupina lži jeho skutečný (komplex) Algebra lži definuje functor.
Základní skupina: zvažovat kategorii topological prostorů s význačnými body. Objekty jsou páry (X,x), kde X je prostor topological a x je element X. Morphism od (X,x) k (Y,y) je dán nepřetržitou mapou f : X -> Y s f(x) = y.
Pro každý topological prostor s význačným bodem (X,x), my budeme definovat základní skupinu. Toto bude být functor od kategorie topological prostorů s význačnými důvody ke kategorii skupin.
Nechaný f být spojitá funkce od pauzy jednotky [0, 1] do X tak to f(0) = f(1) = x. (Equivalently, f je nepřetržitá mapa od jednotky kruh v letadle komplexu tak to f(1) = x.) my voláme takový funkce smyčka v X. Jestliže f a g být smyčky v X, my můžeme slepit je tím, že vymezí h(t) = f(2t) když t je v [0, 0.5] a h(t) = g(2 (t - 0.5 )) když t je v [0.5, 1]. To jde snadno kontrolovat to h je znovu smyčka. Jestliže tam je nepřetržitá mapa F(x,t) od [0, 1] × [0, 1] k X tak to f(t) = F(0,t) je smyčka a g(t) = F(1,t) je také smyčka pak f a g být řekl, aby byl ekvivalent. To může být zkontroloval, že toto definuje vztah rovnocennosti. Naše pravidlo složení přežije tento proces. Nyní, navíc, my můžeme vidět, že my máme element identity e(t) = x (konstantní mapa) a dále ta každá smyčka má inverzní. Opravdu, jestliže f(t) je smyčka pak f(1 - t) je jeho inverzní. Soubor tříd rovnocennosti smyček tak vytvoří skupinu ( základní skupina X). Jeden může zkontrolovat, že mapa od kategorie topological prostorů s význačným důvodem ke kategorii skupin je functorial: topological (homo/iso) morphism chtějí přirozeně odpovídat skupině (homo/iso) morphism.
Representable functors: jestliže C je kategorie a U objekt v C, pak F(X) = MorC(U,X) definuje covariant functor formu C Zapadnout. Functors jako tito jsou voláni representablea hlavní cíl v mnoha nastaveních má stanovit zda daný functor representable.
Stavby univerzálie: Functors je často definovaný univerzálními vlastnostmi; příklady jsou tensor produkt diskutoval nahoře, nařídit součet a nařídit produkt skupin nebo vektorové prostory, konstrukce volných skupin a modulů, přímý a inverzní limity. Pojetí limitu a colimit zevšeobecní několik nahoře. Stavby univerzálie často dají svah párům adjoint functors.
Pre-svazky: jestliže X je prostor topologicalpak otevřené soubory v X moci být považován za předměty kategorie X; tam je morphism od U k V jestliže a jediný jestliže U je podmnožina V. V sobě, tato kategorie není velmi buzení ale functors od Xoperace do ostatních kategorií, takzvaný pre-svazky na X, být zajímavý. Například, tím, že zadá každému otevřenému souboru U asociativní algebra skutečný-cenil spojité funkce na U, jeden dostane pre-svazek algebras na X.
Toto motivovat příklad je zevšeobecněn pre rozvažování-řemenice na libovolných kategoriích: pre-svazek na C je functor definovaný na Coperace. Yoneda lemma vysvětlí to často kategorie C moci být rozšířen tím, že zvažuje kategorii pre-svazky na C.
Kategorie malých kategorií: kategorie Cat má malé kategorie jako objekty a functors mezi nimi jako morphisms.
Přirozené transformace a přirozený isomorphisms
A přirozená transformace je vztah mezi dvěma functors. Functors často popisuje “přirozené stavby” a přirozené transformace pak popisuje “přirozené homomorphisms” mezi dvěma takovými stavbami. Někdy dvě docela odlišné stavby se vzdají “stejný” vyplývat; toto je vyjádřeno přirozeným izomorfismem mezi dvěma functors.
Jestliže F a G být (covariant) functors mezi kategoriemi C a D, pak přirozená transformace od F k G kolegové ke každému objektu X v C morphism a eta;X : F(X) -> G(X) v D takový to pro každý morphism f : X -> Y v C my máme a eta;Y o F(f) = G(f) o a eta;X; toto znamená, že následující diagram je komutativní:
Jestliže K je pole, pak pro každý vektorový prostor V přes K my máme “předurčeného člověka” injective lineární mapa V -> V** od vektorového prostoru do jeho dvojitý dvojí. Tyto mapy jsou “přirozené” v následujícím smyslu: dvojitá dvojí operace je functor a mapy tvoří přirozenou transformaci od identity functor ke dvojitému dvojímu functor. Jestliže my omezíme se na konečný-rozměrný vektor rozmístí, my dokonce dostaneme přirozený izomorfismus. “každý konečný-rozměrný vektorový prostor je přirozeně isomorphic k jeho dvojitý dvojí.”
Považujte kategorii za Ab abelian skupin a seskupte homomorphisms. Pro všechny skupiny abelian X, Y a Z my máme izomorfismus skupiny
- Hom (X, Hom (Y, Z)) -> Hom (XY, Z).
Intuitivně, dvě rovnocenné kategorie nemohou být rozlišovány z hlediska teorie kategorie.
Dvě kategorie C a D být nazýván ekvivalentem jestliže tam existovat functors F : C -> D a G : D -> C takový že FG je přirozeně isomorphic k JáD (kde JáD naznačuje functor identity D -> D který přiřadí každý objekt k sobě a každý morphism k sobě) a GF je přirozeně isomorphic k JáC.
Jeden z hlavních témat algebraické geometrie je rovnocennost kategorie C affine schémata a kategorii D komutativních prstenů. Toto je ve skutečnosti contravariant rovnocennost nebo dualitu, znamenat to dva functor F a G být contravariant functors. Functor G kolegové ke každému komutativnímu prstenu jeho spektrum, schéma definované primárními ideály prstenu. Functor F kolegové ke každému affine plánují jeho kruh globálních sekcí.
Další důležitá dualita se vyskytuje v funkční analýze: kategorie komutativní C * - algebras s identita je contravariantly ekvivalentní ke kategorii kompaktní Hausdorff prostory. Pod touto dualitou, každý kompaktní Hausdorff prostor X je spojován s algebrou nepřetržitého komplexu-cenil funkce na X, a každý komutativní C * - algebra je spojována s prostorem jeho maximal ideály. Toto je Gelfand reprezentace.
Definice kategorií a functors stanoví jediný samé základy kategorické algebry. Další důležitá témata jsou níže uvedena. Ačkoli tam jsou silné interrelations mezi všemi těchto témat, daná objednávka může být považována za směrnici pro další četbu.
- functor kategorie DC má jak namítá functors od C k D a jak morphisms přirozené transformace takového functors. Yoneda lemma je jeden z nejslavnějších základních výsledků teorie kategorie; to popisuje functors representable v kategoriích functor.
- Univerzální vlastnosti mohou být používány definovat velké množství staveb (a od této doby: functors) skrz matematiku.
- Limity a colimits jsou definovány zvláštními univeral vlastnostmi, a zevšeobecnit produkty (souborů, topologií, částečných objednávek,...).
- Adjoint functors: Functor může být opuštěn (nebo pravý) adjoint k jinému functor to mapy v opačném směru. Takový pár adjoint functors typicky se vynoří ze stavby definované univerzální vlastností; to může být viděno jako abstraktnější a silný pohled na univerzální vlastnosti.
Druhy kategorií
- V mnoha kategoriích, morphism dá Mor (,B) být ne jen zapadne ale vlastně abelian se seskupí a složení morphisms je slučitelné s těmito strukturami skupiny, tj. bilinear. Takový kategorie je volána preadditive. Jestliže dále kategorie má všechny konečný produkty a coproducts, to je nazýváno kategorií přísady. Jestliže všechny morphisms mají jádro a cokernela všechny epimorphism jsou cokernels a všechny monomorphisms jsou jádra, pak my mluvíme o abelian kategorii. Typický příklad abelian kategorie je kategorie skupin abelian.
- Kategorie je volána kompletní jestliže všechny limity v tom existovat. Kategorie souborů, abelian skupiny a topological prostory jsou kompletní.
- Kategorie je volána kartézský uzavřený jestliže to má konečné přímé produkty a morphism definovaný na konečném produktu může vždy být reprezentován morphism definovaným na správném faktorů.
- topos je jistý druh kartézské uzavřené kategorie ve kterém celý matematiky moci být vytvořen (jen jako klasicky všichni matematika je vytvořena v kategorii souborů). Topos může také být používán reprezentovat logickou teorii.
- groupoid je kategorie ve kterém každém morphism je izomorfismus. Groupoids je zevšeobecňování skupin, skupinové akce a vztahy rovnocennosti.
Literatura
- William Lawvere a Steve Schanuel: Pojmová matematika: První úvod do kategorií, Cambridge univerzitní tiskárna, Cambridge, 1997.
- Saunders macintoshová cesta: Kategorie pro pracovního matematika, absolvovat texty v matematice 5, Springer 1998
- Francis Borceux: Příručka kategorické algebry, hlasitosti 50-52 Encyklopedie matematiky a jeho aplikace. Cambridge univerzita Press, 1994.