Cauchy-Binet rovnice

V lineární algebře, Cauchy-Binet rovnice zevšeobecní multiplicativity determinanta (skutečnost, že determinant produktu dva matrices čtverce je stejný s produktem dvou determinantů) non-matrices čtverce.

Předpokládat je m- -n matice a B je n- -m matice. Jestliže S je podmnožina {1,...,n} s m elementy, my píšeme _S pro m- -m matice jehož sloupce jsou ty sloupce to mají indexy od S. Podobně, my píšeme B_S pro m- -m matice jehož řady jsou ty řádky B to mají indexy od S. Cauchy-Binet rovnice pak říká

kde součet se rozšíří přes všechny možné podmnožiny S {1,...,n} s m elementy (tam být C (n,m) je).

Jestliže m = n, tj. jestliže a B být čtverec matrices stejného formátu, pak je jen jeden dovolený soubor S, a Cauchy-Binet rovnice sesadí na obyčejný multiplicativity determinanta. Jestliže m = 1 pak tam být n dovolené soubory S a rovnice sesadí na to pro skalární součin. Jestliže m > n, pak je žádný dovolený soubor S a determinant det (AB) je nulový (viz prázdný součet).

Rovnice je platná pro matrices se záznamy od nějakého komutativního prstenu. Pro důkaz jeden píše sloupy AB jako lineární kombinace sloupců s koeficienty od B, používá multilinearity determinanta, a sbírá požadavky, které patří k jedinému det (_S) spolu tím, že využije anti-symetrie determinanta. Koeficient det (_S) je viděn být det (B_S) používat Leibniz předpis pro determinant. Tento důkaz nepoužívá multiplicativity determinanta; poněkud, důkaz prokáže to.

Jestliže je skutečný m- -n matice, pak det ( ^T) je stejný se čtvercem m- rozměrný objem parallelepiped překlenul v Rⁿ m řady . Binet rovnice říká, že toto je stejné se sumou čtverců hlasitostí, které vyvstávají jestliže parallelepiped je orthogonally plánovaný na m- rozměrná osa přeletí (který tam být C (n,m)). Případ m = 1 tohoto sdělení promluvy o délce úsečky: to je nic ale Pythagorean teorém.

Cauchy-Binet rovnice může být rozšířena v rovný-předat cestu k obecné rovnici pro minors produktu dvou matrices. Ta rovnice je dávána v článku na minors.