Charaketristické polynomial

V lineární algebře, jeden sdruží polynomial ke každé matici čtverce, jeho charaketristické polynomial. Tento polynomial zakóduje několik důležitých vlastností matice, nejvíce pozoruhodně jeho eigenvalues, jeho determinant a jeho stopa.

Tabulka s obsahem

1 motivace 2 intuitivní obsah 3 formální definice 4 vlastnosti

Motivace

V případě matice úhlopříčky, charaketristický polynomial jde snadno vymezit: jestliže úhlopříčné záznamy jsou , b, c charaketristické polynomial budou (t-) (t-b) (t-c)... až do konvence o znamení (+ nebo -). To je, úhlopříčné záznamy se stanou rootss charaketristického polynomial. Toto není opravdu dost vysvětlit definici v obecném případě. Ale jestliže my přidáme podmínku ten podobný matrices a B^-1AB by měl mít stejnou vlastnost polynomial, to nezbytně nutí definici daný pozdnější. Jestliže M a N být podobné matrices, pak oni také mají stejnou vlastnost polynomial. Hovořit nicméně je ne pravdivý: matrices s polynomial stejné charakteristiky nemusí být podobné.

Intuitivní obsah

Geometrické důvody, které mohou jsou dávány pro sdělení právě vyrobený jsou tito. Každá čtvercová matice M je jak blízko jak my jako k matici M * to je podobné matici úhlopříčky. Proto, předpokládat souvislost, všechno je přinuceno definicí pracovat nahoru k podoba. Na druhé straně, my nemůžeme předpokládat, že ' podoba až do limitu implikuje podobu u limitu ': transformace, kterou my používáme může sám vyprchat z kontroly v omezeném procesu.

Formální definice

My začínáme polem K (vy můžete myslet na K jak skutečný nebo komplexní čísla) a n- -n matice přes K. Charaketristické polynomial , označil p(t), je prvek polynomial prsten K[t] definovaný

p(t) = det( - tI)

kde Já označí n- -n identitní matice. Toto je opravdu polynomial od té doby, co determinanty jsou definovány v podmínkách sum produktů. (někteří autoři definují vlastnost polynomial být det (tI - ); rozdíl je bezvýznamný od té doby, co dva polynomials se liší u nejvíce znamením.)

Vlastnosti

Míra polynomial p(t) je n. Nejvíce důležitý fakt o charakteristice polynomial je toto: eigenvalues být přesně nuly p(t). Koeficient konstanty p(0) je stejný s determinantem , a koeficient t^{n- 1} je se rovnat k (- 1)^{n- 1} měří stopu .

Pro 2 × 2 matrices, charaketristické polynomial je hezky vyjadřovaný pak jak

t²- tr ()t+ det ()

kde tr () reprezentuje matici stopa a det () determinant A.

Cayley-Hamilton teorém řekne to narazení t ve výrazu pro p(t) dá nulovou matici: p() = 0. Prostě, každá matice uspokojí jeho rovnici vlastní charakteristiky. Jako důsledek tohoto, jeden může ukazovat to minimální polynomial rozdělí charaketristické polynomial .

Matice a jeho přemístit mají polynomial stejné charakteristiky. je podobný trojúhelníkové matici jestliže a jediný jestliže jeho charakteristický polynomial může být kompletně factored do lineárních faktorů přes K. Ve skutečnosti, je dokonce podobný matici v Jordán normální formě v tomto případě.