Diagramy na tak (3)

V matematice, zvláštní orthogonal skupina ve třech rozměrech, jinak známý jako skupina rotací osy, je přirozeně nastávající příklad různý. Různý chartss na tak (3) postavil soupeřit s souřadnicovými soustavami: v tomto případ tam nemůže být řekl, aby byl přednostní soubor parametrů popisovat rotaci. Jsou tam tři míry svobody, tak to rozměr tak (3) je tři. V četných aplikacích jeden nebo jiný souřadnicový systém je používán a problém vzniká jak konvertovat od daného systému k jinému.

Kandidáti obsahují:

• Euler úhly (a théta;, a phi;, a psi;), reprezentovat produkt rotací o x-, y- a z- osy;

• pár (, a théta;) jednotkového vektoru reprezentovat osu a úhel rotace o tom (viz rotace osy);

• čtveřice q délky 1 (cf. čtveřice a prostorová rotace);

• exponenciální anti-symmetric 3 × 3 matice (vidět překroutit-matice symmetric pro podrobnosti).

Tam jsou problémy v používání tito jako víc než místní diagramy, potřebovat jejich rozmanitý-cenil přírodu a singularities. To je, jeden musí být opatrný především k práci jediný s diffeomorphisms v definici diagramu. Toto vysvětlí to proč, například, Euler úhly vypadají, že dává proměnnou v 3 -torus, a čtveřice v 3 -koule. Jedinečnost reprezentace Euler úhly porouchá se u některých bodů, zatímco reprezentace čtveřice je vždy dvojitý kryt, s q a -q dávat stejnou rotaci.

Dívat se více blízko, čtvrtá reprezentace dává parametry v R³. Sekunda dává parametry v S²×S¹; jestliže my nahradíme jednotkový vektor aktuální rotační osou, tak to a - dávat stejnou osovou linku, toto se stojí RP²×S¹, kde RP² je skutečné projective letadlo.

To dělá čtyři nebo pět manifolds, které jsou pokusilo se dávat diagramy na tak (3). Pravda o tom, tak mluvit, je že to je diffeomorphic k RP³: reprezentace čtveřice je přesně dva-k-jedno mapování od S³ k tak (3). Toto navrhne, že to má jisté teoretické výhody; a také že změny z jiných reprezentování toho narazí na grafové problémy.

Jedna oblast ve kterém tato uvažování, v nějakém ročníku, stát se nevyhnutelný, je kinematika přísného těla. Jeden může brát jako definice myšlenka na křivku v Euclidean skupině E (3) trojrozměrný Euclidean prostor, spouštění u identity (výchozí postavení). Podskupina překladu T E (3) je normální podskupina, s kvocientem tak (3) jestliže my se díváme na podskupinu ⁺(3) přímého isometries jediný (který je rozumný v kinematice). Proto nějaké přísné tělesné hnutí vede přímo k tak (3), když my faktor ven translational se rozdělí.