Číňan remainder teorém

Číňan remainder teorém je jméno aplikováno na množství příbuzných výsledků v abstraktní algebře a teorie čísel.

Tabulka s obsahem

1 současný congruences celých čísel 2 sdělení pro hlavní ideální domény 3 sdělení pro obecné prsteny

Současné congruences celých čísel

Originální forma teoréma, obsažený v knize matematika Číňana Ch'in Chiu-Shao publikoval v 1247, je prohlášení o současném congruences (viz modulární aritmetika). Předpokládat n₁,..., n_k být pozitivní celá čísla který jsou pairwise coprime (znamenat gcd(n_i, n_j) = 1 kdykoli i a ne; j). Pak, pro nějaká daná celá čísla ₁,..., _k, tam existuje celé číslo x řešit systém současného congruences

x a equiv; _i (mod _i) pro i = 1...k     (1)

Dále, všechna řešení x k tomuto systému být shodné modulo produkt n = n₁...n_k.

Řešení x moci se nalézat takto. Pro každého i, celá čísla _i a n/_i jsou coprime a používání rozšířil Euclidean algoritmus my můžeme najít celá čísla r a s takový to _i + s n/_i = 1. Jestliže my jsme zapadli _i = s n/_i, pak my máme

_i a equiv; 1 (mod _i) a     _i a equiv; 0 (mod _j) pro j a ne; i.

Číslo x = a součet;_{i= 1..k i} e_i pak řeší daný systém (1) současného congruences.

Například, zvažovat problém nálezu celé číslo x takový to

x a equiv; 2 (mod 3)

x a equiv; 3 (mod 4)

x a equiv; 2 (mod 5)

Používat prodloužený Euclidean algoritmus pro 3 a 4 × 5 = 20, my objevíme (- 13) × 3 + 2 × 20 = 1 (tj. e₁ = 40). Používat Euclidean algoritmus pro 4 a 3 × 5 = 15, my dostaneme (- 11) × 4 + 3 × 15 = 1 (od této doby e₂ = 45). Konečně, používat Euclidean algoritmus pro 5 a 3 × 4 = 12, my dostaneme 5 × 5 + (- 2) × 12 = 1 (mínit e₃ = - 24). Řešení x je proto 2 × 40 + 3 × 45 + 2 × (- 24) = 167. Všechna jiná řešení jsou shodná s 167 modulem 60, který znamená, že oni jsou všichni shodní s 47 modulem 60.

Si všimnout toho některé systémy formy (1) moci být řešen dokonce jestliže čísla n_i pairwise coprime. Přesné kritérium je takto: řešení x existuje jestliže a jediný jestliže _i a equiv; _j (mod gcd (_i, _j)) pro všechny i a j. Všechna řešení x být shodné modulo nejméně společného násobku _i.

Používání metoda postupné náhrady může často dát řešení současných congruences, dokonce když moduli nejsou coprime pairwise.

Sdělení pro hlavní ideální domény

Pro hlavní ideální doménu R Číňan remainder teorém nabude následující tvar: Jestliže u₁, ..., _k jsou elementy R který být coprime pairwise, a u naznačuje produkt u₁..._k, pak prsten R/uR a prsten produktu R/u₁R x... x _kR jsou isomorphic přes izomorfismus

f:     R/uR    -- >  R/u1R x... x R/ukR
      x mod uR  | - > ((x mod u1R),..., (x mod ukR))

Inverzní izomorfismus může být budován takto. Pro každého i, elementy _i a _i jsou coprime, a proto tam existovat elementy r a s v R s _i + _i = 1. Soubor _i = _i. Pak mapa

g:  R/u1R x... x R/ukR  -- >    R/uR    
     ((1 mod u1R),..., (k mod ukR)) | - > a součet;i= 1..k i ei mod uR  

Sdělení pro obecné prsteny

Jeden z nejvíce obecných forem Číňana remainder teorém může být vytvořen pro prsteny a (oboustranný) ideály. Jestliže R je prsten a Já₁, ..., _k jsou ideály R který jsou pairwise coprime (znamenat to _i + _j = R kdykoli i a ne; j), pak produkt Já těchto ideálů je stejný s jejich křižovatkou a prstenem R/já je isomorphic k prstenu produktu R/Já₁ x R/Já₂ x... x R/Já_k přes izomorfismus

f:     R/Já    -- >  R/Já1 x... x R/Ják
      x mod Já  | - > ((x mod Já1),..., (x mod Ják) )