Clifford algebra

Clifford algebras jsou asociativní algebras důležitosti v matematice, zvláště v teoriích kvadratických forem a orthogonal skupin, a v fyzice. Oni jsou jmenováni pro William Kingdon Clifford.

Formální definice

Nechaný V být vektorový prostor přes pole k, a q : V -> k kvadratická forma na V. Clifford algebra C (q) je unital asociativní algebra přes k spolu s lineární mapou i : V -> C (q) definovaný pokračováním univerzální vlastnictví:

pro každou asociativní algebru přes k s lineární mapou j : V -> takový to pro každý v v V my máme j(v)² = q(v) 1 (kde 1 naznačuje multiplikativní identitu ), tam je jedinečný homomorphism algebry f : C (q) -> takový že následující diagram dojíždí

              V -- -- > C (q) | / | / existuje a je jedinečný | / v v

tj. takový ten fi = j.

Clifford algebra existuje a moci být budován takto: brát tensor algebra T (V) a mod ven ideálem vytvořený

v tensor v - q(v) 1.

To vyplývá z této stavby to i injective, a V moci být považován za lineární subspace C (q).

Nechaný

B(u,v) = q(u+v) - q(u) - q(v)

být bilinear forma spojený k q. to je důsledek definice to identita

uv + vu = B(u,v) 1

držení v C (q) pro každý pár (u, v) vektorů v V. Jestliže pole je charakteristiky nerovný k 2 tento výraz může být používán jako alternativu definovat vlastnost.

Clifford algebra C (q) je filtrován subspaces

elementů to může být psáno jako monomials 0, 1, 2,.. vektory v V. Spojený stupňovaná algebra canonically isomorphic k algebře zevnějšku a Lambda; V vectorspace. Toto se ukáže zvláště to

matný C (q) = 2^{matný V}.

Světštější způsob, jak vidět, že toto je tím, že si vybere libovolný základ e _ 1, e _ 2,..... pro V. Používat anticommutation vztah my můžeme vždy vyjadřovat prvek Clifford algebry jako lineární kombinace monomials typu

který dává explicitní izomorfismus s algebrou zevnějšku. Poznamenat, že toto je izomorfismus vektorových prostorů, ne algebras.

Jestliže V má konečný vyrovnat rozměr, pole je algebraicky uzavřené a kvadratická forma je non degenerují, Clifford algebra je centrální jednoduchý. Tak Artin-Wedderburn teorém to je (canonically non) isomorphic k maticové algebře. To znamená, že v tomto případě C (q) má ireducibilní zobrazení rozměru 2^{matný (V) / 2} který je jedinečný nahoru k izomorfismu nonunique. Toto je (v) slavný reprezentace spinora jeho vektory jsou volal spinors.

Jestliže matný V je zvláštní......

V případě pole k je pole reálných čísel Clifford algebra kvadratické formy podpisu p,q je obvykle označován C (p,q). Tyto skutečné Clifford algebras byly klasifikované takto...

Clifford algebra je důležitá ve fyzice. Fyzici obvykle zvažují Clifford algebru být trván matices a gamou;₁,..., a gama;_n který mít vlastnost to

a gama;_i a gama;_j + a gama;_j a gama;_i = 2 a eta;_i,j

kde a eta; je matice kvadratické formy typu p, q s ohledem na základ orthonormal e₁,..., e_n. A gama;_i matice je nic ale matice násobení vektorem e_i na reprezentaci spinor s ohledem na nějaké libovolné východisko pro spinors.