Uzavření (topologie)

V topologii a matematické analýze, uzavření podmnožiny S prostoru topological X je nejmenší uzavřená podmnožina X který obsahuje S. Toto může být budováno křížící se všichni se zavřeli supersets S v X, tak to uzavření S je nejmenší uzavřený superset S v X.

Uzavření S je různě naznačován “Cl (S)” nebo “#rquote. Jestliže tam je více než jedna topologie na X (říkat T a T'), pak různé topologie mohou dát svah různým uzavřením; toto může být ukázáno v zápisu indexem, jak v “Cl_T(S)”. Jestliže topologie je sám definovaný nějakou jinou strukturou, takový jak metrický d, pak”d#rquote moci být umístěn v indexu místo toho”T”.

Alternativní characterisations

V metrickém prostoru X (takový jak n- rozměrný Euclidean prostor) uzavření Cl (S) je soubor {x a isin; X : d(x,S) = 0} všech bodů v X jehož vzdálenost od S je 0. Tady, d(x,S) je definován jako infimum souboru {d(x,y) : y a isin; S}.

V nejprve počitatelném prostoru (takový jako metrický prostor), Cl (S) je soubor všech limitů všech konvergentních sledů bodů v S. Pro generála topological rozmístí, toto sdělení zůstane pravdivé jestliže jeden nahradí “sekvenci””síť”.

Další charakterizace Cl (S) je takto: element x X patří k Cl (S) jestliže a jediný jestliže každé sousedství x obsahuje element S. Jinými slovy, x a isin; Cl (S) iff x a isin; S nebo x je hromadný bod S.

Fakty o uzavřeních

Soubor S je uzavřený jestliže a jediný jestliže Cl (S) = S. Zvláště, uzavření prázdné množiny je prázdná množina a uzavření X sám je X. Uzavření křižovatky souborů je vždy podmnožina (ale potřeba ne být se rovnat k) křižovatka uzavření souborů. Ve spojení finitely mnoho soubory, uzavření odboru a spojení uzavření jsou se rovnat; pro nekonečně mnoho souborů, toto nemusí být případ. Nicméně v každém případě, uzavření odboru souborů je vždy superset spojení uzavření souborů. Protože nula je konečné číslo a spojení souborů nuly je prázdná množina, toto je další způsob, jak vidět, že prázdná množina je jeho vlastní uzavření; to je, prázdná množina je zavřena.

Uzavření souboru S je stejný s doplňkem vnitřku doplňku S.

Podmnožina S je hustý v X iff Cl (S) = X.

Jestliže A je subspace X obsahovat S, pak uzavření S vypočítal v A je stejný s křižovatkou A a uzavření S vypočítal v X: Cl_A(S) = A a čepice; Cl_X(S). Zvláště, S je hustý v A iff A je podmnožina Cl_X(S).