Combinatorics

Combinatorics je odvětví matematiky to studuje konečné sbírky objektů, které splní jistá kritéria, a je zvláště zaujatý “počítáním” objekty v těch sbírkách (enumerative combinatorics) a s rozhodný zda jistý “optimální” objekty existují (combinatorics extremal). Jeden z nejprominentnějších combinatorialists nedávné doby byl Gian-Carlo rota, kdo pomohl formovat podřízený začátek v šedesátých létech. Plodný problém-solver Paula Erdös pracoval hlavně na otázkách extremal. Studium jak k objektům počtu je někdy myšlenka odděleně jako pole výčtu.

Docela vyčerpávající výpis Wikipedia stranou je seznam témat combinatorics.

Příklad combinatorial otázky je sledování: Co je množství možných orderings paluby 52 hracích kart? To číslo se rovná 52! (tj., “dvaapadesát faktoriál”). To je produkt všech přirozených čísel od jednoho k dvaapadesát. To může vypadat překvapivé, že toto číslo, o 8.065817517094 × 10⁶⁷, je tak velký. To je malý kousek více než 8 následovaný 67 nulami. Přirovnávat to číslo k některým jiným velkým množstvím, to je větší než čtverec Avogadro čísla, 6.022 × 10²³, “množství atomů, molekuly, etc., v krtkovi gramu”.

Tabulka s obsahem

1 počítání funguje 2 výsledky 3 vnější spojení 4 odkazy

Funkce počítání

Vypočítávat množství cest že jisté vzory mohou být tvořeny je začátek combinatorics. Nechaný S být soubor s n namítá. Kombinace k objekty od tohoto souboru S jsou podmnožiny S mít k elementy každý (kde pořadí výpisu elementy nerozlišuje dvě podmnožiny). Obměny k objekty od tohoto souboru S se odkazovat na sekvence k odlišné prvky S (kde dvě sekvence jsou zvažovány různý jestliže oni obsahují stejné elementy ale v různém pořádku). Recepty na množství obměn a kombinace jsou ochotně dostupné a důležité během combinatorics.

Více obecně, daný nekonečná sbírka konečných množin {S_i} typicky indexovaný přirozenými čísly, combinatorics enumerative hledá paletu způsobů, jak popisovat funkci počítání, f(n), který počítá množství objektů v S_n pro některého n. Ačkoli aktivita zjištění počtu elementů v souboru je poněkud široký matematický problém, v problému combinatorial elementy S_i bude obvykle mít relativně jednoduchý combinatorial popis, a malá další struktura.

Nejjednodušší takové funkce jsou uzavřené rovnice, který může být vyjádřen jako složení základních funkcí takový jako faktoriály, síly, a tak dále. Jak známý nahoře, množství možných různých orderings paluby n karty je f(n) = n!.

Tento přístup nemůže vždy být úplně uspokojivý (nebo praktická zkouška) pro každý problém combinatoric. Například, nechaný f(n) být množství zřetelných podmnožin celých čísel v pauze [1,n] to neobsahují dvě nepřetržitá celá čísla; tak například, s n = 4, my máme {}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4}, tak f(4) = 8. To vypne to f(n) je nth Fibonacci číslo, který může být vyjádřen v uzavřeném tvaru jak:

kde a phi; = (1 + a radic; 5) / 2, Golden znamená. Nicméně, daný že my se díváme na soubory celých čísel, přítomnost a radic; 5 v výsledek může být považován za “unaesthetic” z combinatoric hlediska. Jinak, f(n) smět být vyjádřen jak opakování

který může být více uspokojivý (od čistě combinatoric pohledu) od té doby, co to více jasně ukáže se proč výsledek je jak ukázaný.

Jiný přístup má najít asymptotic rovnici f(n) ~ g(n) kde g(n) je “známá” funkce, a kde f(n) přístupy g(n) jak n přístupy infinity. V některých případech, jednoduchá asymptotic funkce může být lepší než strašně komplikovaná uzavřená rovnice, která postoupí žádné nahlédnutí chování spočtených objektů. V nad příkladem, asymptotic rovnice byla by

jak n se zvětší.

Konečně, a nejvíce užitečně, f(n) smět být vyjádřen formální mocninovou řadou, nazvaný jeho funkce buzení, který je nejvíce obyčejně jeden obyčejné buzení fungovat

nebo exponenciální buzení fungovat

kde součty jsou vzaty pro n a ge; 0. Jednou předurčený, funkce buzení může dovolit jednoho získat celou informaci danou předchozími přístupy. Navíc, různé přirozené operace na funkcích buzení takový jako sčítání, násobení, rozdílnost, etc., mít combinatorial význam; a toto dovolí jednoho se prodlužovat vyplývá z jednoho problému combinatorial aby řešil jiné.

Výsledky

Někteří velmi jemné vzory mohou být vyvinuty a někteří překvapující teorémy dokázaly. Jeden příklad překvapujícího teoréma je Frank P. Ramsey:

Předpokládat 6 lidí setkat se s každým jiný na slavnosti. Někteří ti už znají každého jiný, někteří je dělat ne. To je vždy případ že jeden může najít 3 lidi ven 6 takový to oni jeden všichni znají každého jiný nebo že oni jsou všichni cizinci pro každého jiný.

Důkaz je krátký důkaz rozporem: předpokládat, že tam nejsou 3 lidi kdo jeden všichni znají každého jiný nebo všichni neznají každého jiný. Pak zvažovat nějakou jednu osobu na slavnosti, budoucnost volala osobu: mezi zůstávat 5 lidmi, tam muset být přinejmenším tři kdo jeden všichni vědí to nebo všichni nevědí to A. Bez ztráty všeobecnosti, převzít tři takové osoby všichni vědí A. ale pak mezi ty tři osoby, přinejmenším dva je muset znát každého jiný (jinak my bychom měli 3 lidi kdo všichni neznají každého jiný). Ale pak ti dva také vědět to, tak my máme 3 lidi kdo všichni znají každého jiný. (toto je zvláštní případ Ramseyova teoréma)

Myšlenka na objednávku nálezu v náhodných konfiguracích dá svah Ramsey teorii. Nezbytně tato teorie říká, že nějaká dostatečně velká konfigurace bude obsahovat u nejméně jednoho příkladu nějakého jiného druhu konfigurace.

Viz též: konečná matematika, zahrnutí-princip vyloučení

Externí odkazy

• Paul Erdös
• Frank P. Ramsey
• Gian-Carlo rota

Odkazy

• Příručka Combinatorics, hlasitosti 1 a 2, R.L. Graham, M. Groetschel a L. Lovasz (Eds.), MIT Press, 1996. ISBN 026207169X
• Enumerative Combinatorics, hlasitosti 1 a 2, Richard P. Stanley, Cambridge univerzita Press, 1997 a 1999, ISBN 0-521-55309-1n \ n