Kompaktní prostor

V matematice, kompaktní prostor je prostor, který podobá se se zavřel a ohraničená podmnožina Euclidean prostoru Rⁿ v tom to je “malé” v jistém smyslu a “obsahuje všechny jeho mezní body”. Moderní obecná definice volá prostor topological kompaktní jestliže každá všeobecná pojistka to má konečný subcover. To je, nějaká sbírka otevřených souborů jehož odbor je celý prostor má konečný subcollection jehož odbor je ještě celý prostor. Někteří autoři používají termín ' quasicompact ' místo toho a rezervovat termín ' kompaktní ' pro stlačit Hausdorff prostory, ale Wikipedia drží se obvyklé aktuální praxe dovolovat kompaktní prostory být non-Hausdorff.

Tabulka s obsahem

1 motivace pro kompaktnost 2 obecně rovnocenné definice kompaktních souborů 3 rovnocenné definice kompaktního souboru v Rn 4 příklady kompaktních prostorů 5 teorémů 6 jiných forem kompaktnosti 7 nějaká minulost termínu ' kompaktní ' \

Motivace pro kompaktnost

Jeden z hlavních důvodů pro studující kompaktní prostory je, protože oni jsou velmi hezká zevšeobecňování konečných množin. Jinými slovy, tam je mnoho výsledků, které jdou snadno ukázat se pro konečné množiny a důkazy vysílají přes s jediným miminal vrtat se do souvislosti s kompaktními prostory. Z tohoto důvodu, to je často říkal, že “kompaktnost je příští nejlepší věc k finiteness”. Tady je příklad:

• Předpokládat X je Hausdorff rozmístí a my máme bod x v X a konečná podmnožina X ne obsahovat x. Pak my můžeme se oddělit x a neighbourhoodss: pro každého v , nechaný U() a V() být disjoint sousedství obsahovat x a , příslušně. Pak křižovatka všech U() a spojení všech V() být požadovaná sousedství x a .

Si všimnout toho jestliže je nekonečný, důkaz propadne, protože křižovatka libovolně mnoho sousedství x směl ne být sousedství x. Důkaz může být “zachráněný”, nicméně, jestliže je kompaktní: my prostě vezmeme konečný subcover kryta {V()} . Tímto způsobem, my vidíme to v Hausdorff prostoru, nějaký bod může být oddělen sousedstvími od nějakého kompaktního souboru ne obsahovat to. Ve skutečnosti, opakovat argument ukáže, že nějaké dva disjoint kompaktní soubory ve Hausdorff prostorové plechovce jsou odděleny sousedstvími -- poznamenat, že toto je přesně co my dostaneme jestliže my nahradíme “bod” (tj. singleton soubor) s “kompaktním souborem” v Hausdorff oddělovacím axióme. Mnoho z argumentů a výsledků zahrnovat kompaktní prostory následovat takový vzor.

Obecně rovnocenné definice kompaktních souborů

Rovnocenná definice kompaktních prostorů, někdy užitečný, je umístěný na konečný vlastnictví křižovatky. Tato definice říká, že X je kompaktní jestliže a jediný jestliže pro každou sbírku uzavřených souborů který má konečnou křižovatku vlastnictví, křižovatka přes tuto sbírku je také nonempty. Jinými slovy, jestliže všechny konečné podmnožiny sbírky uzavřených souborů mají křižovatku nonempty, tak muset celá sbírka. Například, (0, 1] je ne kompaktní, od sekvence (0, 1/n] uzavřených souborů (v (0, 1 ]) je vložený, a tak jasně má konečná křižovatka vlastnictví, ale má prázdnou křižovatku. Tato definice je použita v některých důkazech Tychonoff teoréma a uncountability reálných čísel.

Rovnocenné definice kompaktního souboru v Rⁿ

Pro nějakou podmnožinu Euclidean prostoru Rⁿ, pokračování tři podmínky jsou rovnocenné:

• Každá všeobecná pojistka má konečný subcover. Toto je definice nejvíce běžně používaný, jak řečený nahoře.
• Každá sekvence v souboru má konvergentní subsequence.
• Každá nekonečná podmnožina souboru má hromadný bod v souboru.
• Soubor je uzavřený a ohraničený. Toto je podmínka, která je nejsnadnější ověřit, například zavřel pauzu nebo se zavřel n- míč.

V jiných prostorech, tyto podmínky smějí nebo smějí ne být rovnocenný, se spoléhat na vlastnosti prostoru.

Příklady kompaktních prostorů

• Zavřel pauzu jednotky [0, 1] je kompaktní. (ale ne polovina-otevřená pauza [0, 1 )).
• Pro každé přirozené číslo n, n-koule je kompaktní.
• Cantor soubor je kompaktní. (protože p- adic celá čísla jsou homeomorphic k souboru Cantora, oni také tvoří kompaktní soubor.)
• Některý konečný prostor topological je kompaktní.
• Nějaké přepravování prostoru cofinite topologie je kompaktní. (v topologii cofinite, soubor je otevřený iff to je prázdné nebo jeho doplněk je konečný.)
• Zvažovat soubor 2^N všech nekonečných sekvencí se záznamy v {0, 1}. Toto je metrický prostor jestliže my vymezíme d((_n),(_n)) = 1 /k, kde k je nejmenší index takový to _k a ne; _k. (Jestliže není tam žádný takový index, pak dvě sekvence jsou stejné a my definujeme jejich vzdálenost být nulový). Pak 2^N je kompaktní prostor; toto je důsledek Tychonoff teoréma zmínil se dole. Tato stavba může být vykonávána pro nějakou konečnou množinu, ne jen {0, 1}.
• spektrum některý spojitý lineární operátor na Hilbert prostoru je kompaktní podmnožina C.
• spektrum některý komutativní prsten nebo Booleovská algebra je kompaktní.
• Hilbert kostka je kompaktní.
• Spravit topologii objednávky nebo vlevo objednat topologii na některém ohraničený totálně spořádaný soubor je kompaktní. Zvláště, Sierpinski prostor je kompaktní.
• Kámen-Čech compactification nějakého Tychonoff prostoru je kompaktní Hausdorff prostor.
• Alexandroff jeden-bod compactification nějakého prostoru je kompaktní.

Teorémy

Některé teorémy příbuzné kompaktnosti (vidět Glosář topologie pro definice):

• nepřetržitá představa o kompaktním prostoru je kompaktní.
• Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktní.
• Kompaktní podmnožina Hausdorff prostoru je zavřena.
• Nonempty kompaktní podmnožina reálných čísel má největší element a nejméně elementu.
• Podmnožina Euclidean n- prostor je kompaktní jestliže a jediný jestliže to je uzavřené a ohraničené. (Heine-Borel teorém)
• metrický prostor (nebo jednotný prostor) je kompaktní jestliže a jediný jestliže to je kompletní a totálně ohraničený.
• produkt nějaké sbírky kompaktních prostorů je kompaktní. (Tychonoff teorém -- toto je ekvivalentní k axiomu výběru)
• Kompaktní Hausdorff prostor je normální.
• Každý spojitý bijective mapa od kompaktního prostoru k Hausdorff prostoru je homeomorphism.
• Metrický prostor je kompaktní jestliže a jediný jestliže každá sekvence v prostoru má konvergentní subsequence.
• Topological prostor je kompaktní jestliže a jediný jestliže každá síť na prostoru má konvergentní subnet.
• Topological prostor je kompaktní jestliže a jediný jestliže každý filtr na prostor má konvergentní refinement.
• Topological prostor je kompaktní jestliže a jediný jestliže každý ultrafilter na prostoru je konvergentní.
• Topological prostor může být zasazený v kompaktním Hausdorff prostoru jestliže a jediný jestliže to je Tychonoff prostor.
• Každý prostor topological X je hustý subspace kompaktního prostoru který má na nejvíce jednom místě více než X. (Alexandroff jeden-bod compactification)
• Metrický prostor X je kompaktní jestliže a jediný jestliže každý metrický prostor homeomorphic k X je kompletní.
• Jestliže metrický prostor X je kompaktní a všeobecná pojistka X je dáván, pak tam existuje číslo a delta; > 0 takový ta každá podmnožina X průměru
• Jestliže topological prostor má podsyp vozovky takový ten každý kryt prostoru členy podsypu vozovky má konečný subcover, pak prostor je kompaktní. (Alexander je teorém podsypu vozovky)
• Dva kompaktní Hausdorff prostory X₁ a X₂ jsou homeomorphic jestliže a jediný jestliže jejich prsteny spojitý skutečný-cenil funkce C (X₁) a C (X₂) isomorphic.

Jiné formy kompaktnosti

Tam být množství vlastností topological, které jsou ekvivalentní ke kompaktnosti v metrických prostorech, ale inequivalent oběcně topological prostory. Tito zahrnují pokračování.

• Následně stlačovat: Každá sekvence má konvergentní subsequence.
• Countably stlačuje: Každá počitatelná všeobecná pojistka má konečný subcover. (nebo, equivalently, každá nekonečná podmnožina má a omega; - hromadný bod.)
• Pseudocompact: Každý skutečný-oceněný spojitý fungovat na prostoru je ohraničený.
• Slabě countably stlačují (nebo hromadný bod kompaktní): Každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.

Zatímco všechny tyto podmínky jsou rovnocenné pro metrické prostory, obecně my máme následující důsledky:

Kompaktní prostory jsou countably kompaktní. Následně kompaktní prostory jsou countably kompaktní. Countably kompaktní prostory jsou pseudocompact a slabě countably stlačují.

Další příbuzný pojem, který je obvykle přísně slabší než kompaktnost je místní kompaktnost.

Nějaká minulost termínu ' kompaktní ' \

To bylo uznané na dlouhou dobu že vlastnictví jako kompaktnost bylo potřeboval se ukázat jako mnoho užitečných výsledků. Najednou, když primárně metrické prostory byly studovány, kompaktní byl vzat mínit slabší následně stlačovat, že každá sekvence má konvergentní subsequence. Definice založená na otevřených krytinách předčila to tím, že dovolí mnoho užitečných výsledků to mohlo být dokázané o metrických prostorech používat staré definice být dokázaný obecně.