Compactification
V matematice, to je užitečné vložit prostory topological v kompaktních prostorech - protože silných vlastností kompaktní prostory mají. An prostoupení prostoru topological X jak hustá podmnožina kompaktního prostoru je nazývána compactification X.Zvláštního zájmu Hausdorff compactifications, tj., compactifications ve kterém kompaktní prostor je Hausdorff. Topological prostor má Hausdorff compactification jestliže a jediný jestliže to je Tychonoff. Navíc, tam je jedinečný (nahoru k homeomorphism) “nejobecnější” compactification, Kámen-Čech compactification X, označil a beta;X. Prostor a beta; X je charakterizován univerzální vlastností to nějaká nepřetržitá funkce od X ke kompaktnímu Hausdorff prostoru K moci být rozšířil se do spojité funkce od a beta; X k K v jedinečné cestě.
Pro nějaký non-kompaktní prostor X (Alexandroff) jeden-bod compactification X je získán tím, že přidá zvláštní bod a infin; (často volal nevlastní bod) a definovat otevřené soubory nového prostoru být otevřené soubory X spolu se soubory formy G U {a infin;}, kde G je otevřená podmnožina X a X \ \ G je kompaktní. Jeden-bod compactification X je Hausdorff jestliže a jediný jestliže X je Hausdorff a místně kompaktní.
Ve studii o jednotlivých podskupinách Skupin lži, prostor kvocientu cosets je často kandidát pro více důvtipný compactification zachovat konstrukci u bohatější úrovně než spravedlivý topological.
Například modulární křivky jsou compactified přidáním jediných bodů pro každého cusp, dělat je Riemann se vynoří (a tak, protože oni jsou kompaktní, algebraické křivky). Tady cusps jsou tam pro dobrý důvod: křivky parametrize dobu mříží a ty mříže mohou degenerovat (' projít do nekonečna '), často v množství cest (vzít v úvahu nějaká pomocná struktura úrovně). Cusps zastupují pro ty různý ' nasměrování do nekonečna '.
To je vše pro mříže v letadle. V n- rozměrný Euclidean prostor stejný otázky mohou být předkládány, například o GLn(R) / GLn(Z). Toto je tvrdější k compactify. Tam je obecná teorie, Borel-Serre compactification, to je nyní aplikováno.
V teorii řetězce, compactification se odkazuje na “lemování” zvýšit zvláštní rozměry (šest v teorii superstring) obvykle na Calabi-Yau prostory nebo na orbifolds.