Kompletní prostor

V matematické analýze, metrický prostor M je řekl, aby byl kompletní jestliže každá Cauchy sekvence bodů v M má limit v M.

Intuitivně, prostor je kompletní jestliže to “neudělá nějaké díry”, jestliže tam být ne některý “body chybějící”. Například, racionální čísla nejsou kompletní, protože a radic; 2 “mine”. To je vždy možné “zaplnit všechny díry”, vést k dokončení daný prostor jak vůle jsou vysvětleni dole.

Tabulka s obsahem

1 příklady 2 některé teorémy 3 dokončení 4 Topologically kompletní prostory 5 zevšeobecňování

Příklady

Prostor Q racionálních čísel, se standardem metrický daný absolutní hodnotou, je nedokončený. Zvážit to například sekvence vymezila x₁ : = 1 a x_{n+ 1} : = x_n/ 2 + 1 /x_n. Toto je Cauchy sled racionálních čísel, ale to nemíří k nějakému rozumnému limitu; ve skutečnosti, to míří k iracionálnímu číslu a radic; 2, druhá odmocnina dva.

otevřená pauza (0, 1), znovu s absolutní hodnotou metrický, je nedokončený jeden. Sekvence (1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...) je Cauchy, ale nemá mez v prostoru. Nicméně uzavřená pauza [0, 1] je kompletní; sekvence nahoře má mez 0 v této pauze.

Prostor R reálných čísel a prostor C komplexních čísel (s metrický daný absolutní hodnotou) být kompletní, a tak je Euclidean prostor Rⁿ. Jiné normed vektorové prostory smějí nebo smějí ne být kompletní; ti který být, jsou prostory Banache.

Prostor Q_p p- adic numberss být kompletní pro nějaké prvočíslo p. Tento prostor dokončí Q s p- adic metrický stejně to R dokončí Q s obvyklý metrický.

Jestliže S je libovolný soubor pak soubor S^N všech sekvencí v S stane se kompletním metrickým prostorem jestliže my definujeme vzdálenost mezi sekvencemi (x_n) a (y_n) být 1 /N, kde N je nejmenší index pro kterého x_N je zřetelný od y_N, nebo 0 jestliže není tam žádný takový index. Tento prostor je homeomorphic k produktu počitatelného množství kopií diskrétního prostoru S.

Některé teorémy

Každý kompaktní metrický prostor je kompletní. Ve skutečnosti, metrický prostor je kompaktní jestliže a jediný jestliže to je kompletní a totálně ohraničený.

Subspace kompletního prostoru je kompletní jestliže a jediný jestliže to je uzavřené.

Jestliže X je soubor a M je kompletní metrický prostor pak soubor B (X,M) všech ohraničených funkcí f od X k M je kompletní metrický prostor. Tady my definujeme vzdálenost v B (X,M) v podmínkách vzdálenosti v M jak

Jestliže X je prostor topological a M je kompletní metrický prostor pak soubor C_b(X,M) sestávat ze všech spojitý ohraničené funkce f od X k M je uzavřený subspace B (X,M) a od této doby také kompletní.

Baire teorém kategorie říká, že každý kompletní metrický prostor je Baire prostor. To je, vnitřek odboru countably mnoho nikde husté podmnožiny prostoru je prázdný.

Dokončení

Pro nějaký metrický prostor M, jeden může postavit kompletní metrický prostor M' (který je také označován jak M s barem přes to), který obsahuje M jako hustý subspace. To má pokračování univerzální vlastnictví: jestliže N je nějaký kompletní metrický prostor a f je nějaká jednotně spojitá funkce od M k N, pak tam existuje jedinečný jednotně spojitá funkce f' od M' k N který se prodlužuje f. Prostor M' je určován nahoru k isometry touto vlastností, a je nazýván dokončením M.

Dokončení M moci být budován jako soubor rovnocennosti třídy Cauchy sekvencí v M. Pro nějaké dvě Cauchy sekvence (x_n)_n a (y_n)_n v M, my můžeme definovat jejich vzdálenost jak

d (x,y) = lim_n d (x_n,y_n).

(Tento limit existuje, protože reálná čísla jsou kompletní.) toto je jen pseudometric, ne přesto metrický, protože dvě různé Cauchy sekvence mohou mít vzdálenost 0. Ale “mít vzdálenost 0” je vztah rovnocennosti na souboru všech Cauchy sledů a souboru tříd rovnocennosti je metrický prostor, dokončení M.

Cantor' s contsruction reálných čísel je zvláštní případ tohoto; reálná čísla jsou dokončení racionálních čísel používat obyčejnou absolutní hodnotu ke vzdálenostem míry. Tím, že používá různá ponětí o vzdálenosti na rationals, jeden trvá různý neúplné metrické prostory jehož dokončení jsou p- adic numberss.

Jestliže tato procedura dokončení je aplikována na normed vektorový prostor, jeden dostane Banach prostor obsahovat originální prostor jako hustý subspace, a jestliže to je aplikováno na prostor skalárního součinu, jeden dostane Hilbert prostor obsahovat originální prostor jako hustý subspace.

Topologically kompletní prostory

Poznamenat, že úplnost je vlastnost metrický a ne topologie, znamenat, že kompletní metrický prostor může být homeomorphic k non-kompletní. Příklad je dán reálnými čísly, který být kompletní ale homeomorphic k otevřené pauze (0, 1), který není kompletní. Další příklad je dán iracionálními čísly, který být nedokončený jako subspace reálných čísel ale homeomorphic k N^N (zvláštní případ příkladu v Příkladech nahoře).

V topologii jeden zváží to topologically kompletní (nebo kompletně metrizable) prostory, prostory pro kterého tam existuje přinejmenším jeden kompletní metrický přivozovat danou topologii. Kompletně metrizable prostory mohou být charakterizovány jako ty prostory, které mohou být psány jako křižovatka countably mnoho otevřených podmnožin některých dokončí metrický prostor. Od závěru Baire teorém kategorie je čistě topological, to platí o těchto prostorech také.

Zevšeobecňování

To je také možné definovat představu o úplnosti pro prostory uniformy používat Cauchy netss místo toho Cauchy sekvence. Jestliže každá Cauchy síť má mez v X, pak X je volán kompletní. Jeden může také postavit dokončení pro libovolný jednotný prostor podobný dokončení metrických prostorů. Většina celkové situace ve kterých Cauchy sítích platí je Cauchy prostory; tito příliš mají ponětí o úplnosti a dokončení úplně jako jednotné prostory.

Topological prostor může být kompletně uniformisable bez bytí kompletně metrisable; to je pak ještě ne topologically kompletní.