Komplexní rozbor

Komplexní rozbor odvětví matematiky vyšetřuje funkce holomorphic, tj. funkce, které jsou vymezily v nějaké oblasti komplexního letadla, vzít hodnoty komplexu, a být differentiable jako komplexní funkce. Differentiability komplexu má mnohem silnější důsledky než obvyklý (skutečně) differentiability. Například, každá funkce holomorphic representable jako mocninová řada v každé terčové návěsti v jeho oblasti definice, a je proto analytický. Zvláště, holomorphic funkce jsou nekonečně differentiable, fakt, který je daleko od pravdivý doopravdy differentiable funguje. Většina základních funkcí, takový jako všechny polynomials, exponenciální funkcea goniometrické funkce, holomorphic. Viz též: holomorphic řemenice a vektorové svazky.

Jeden centrální nástroj v komplexním rozboru je cesta základní. Základní kolem uzavřené křivky funkce který je holomorphic všude uvnitř oblasti skákal uzavřenou křivkou je vždy nulový; toto je Cauchy základní teorém. Hodnoty funkce holomorphic uvnitř disku mohou být počítány jistou cestou základní na hranici disku (Cauchy je základní rovnice). Integrals cesty v letadle komplexu jsou často používány určovat komplikované skutečné integrals, a tady teorie zbytků je užitečná. Jestliže funkce má tyč nebo výstřednost na nějakém místě, znamenat, že jeho hodnoty “explodují” a to nemá konečnou hodnotu tam, pak jeden může definovat zbytek funkce u té tyče a tyto zbytky mohou být používány počítat integrals cesty zahrnovat funkci; toto je obsah silný teorém zbytku. Významné chování funkcí holomorphic blízko základních singularities je popisováno Weierstrass-Casorati teorém. Funkce, které mají jediné tyče ale žádný základní singularities jsou volány meromorphic. Laurent série jsou podobné Taylor sérii ale mohou být zvyklý na studium chování funkcí blízko singularities.

Ohraničená funkce, která je holomorphic v celém komplexním letadle musí být konstanta; toto je Liouville teorém. To může být používáno podat přirozený a krátký důkaz pro základní teorém algebry který řekne to pole komplexních čísel je algebraicky uzavřený.

Důležitá vlastnost funkcí holomorphic je to jestliže funkce je holomorphic skrz jednoduše souvislou doménu pak jeho hodnoty jsou úplně určení jeho hodnotami na nějakém menším subdomain. Funkce na větší doméně je řekl, aby byl analyticky pokračující od jeho hodnot na menší doméně. Toto dovolí rozšíření definice funkcí takový jak Riemann zeta fungují který být zpočátku definovaný v podmínkách nekonečných součtů, které se sblíží jediný na omezených doménách k téměř celé komplexní letadlo. Někdy, jak v případě přirozeného logaritmu, to je nemožné analyticky pokračovat ve funkci holomorphic k non-jednoduše souvislá doména v letadle komplexu ale to je možné rozšířit to na funkci holomorphic na blízko příbuzném povrchu známý jako Riemann povrch.

Tam je také velmi bohatá teorie komplexního rozboru ve víc než jednom komplexu rozměr kde analytické vlastnosti takový jako expanze mocninové řady ještě zůstat pravdivý zatímco většina z geometrických vlastností holomorphic funguje v jednom komplexním rozměru (takový jako conformality) být už ne pravdivý. Riemann mapovat teorém o conformal vztahu jistých domén v letadle komplexu, možná nejdůležitější výsledek v jednorozměrné teorii, propadne dramaticky ve vyšších rozměrech.

Komplexní rozbor je jeden z klasických větví v matematice se jeho kořeny v 19. století a někteří vyrovnají předtím. Důležitá jména je Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, a mnoho více v 20. století. Tradičně, komplexní rozbor, zvláště teorie conformal mappings, má mnohé žádosti v strojírenství, ale to je také použité během analytický teorie čísel. V moderní době, to stalo se velmi populární přes novou posilu komplexní dynamiky a obrazy fraktálů produkovaly tím, že opakuje funkce holomorphic, nejvíce populární bytí Mandelbrot soubor. Další důležité použití komplexního rozboru dnes je v teorii řetězce který je conformally neměnný kvantová polní teorie.