Spojitá funkce
V matematice, spojitý funkce je jedna ze kterého “malé” změny v vstupu přivodí “malé” změny v výstupu. Jestliže malé změny ve vstupní plechovce produkují zlomený skok ve změnách výstupu, funkce je řekl, aby byl nesouvislý (nebo mít nesouvislost).
Jako příklad, zvažovat funkci h(t) který popisuje výšku rostoucího dítěte v době t. Tato funkce je spojitá (ledaže nohy dítěte byly amputovány). Jako další příklad, jestliže T(x) naznačuje teplotu vzduchu v výšce x, pak tato funkce je také spojitá. Ve skutečnosti, tam je výrok v přírodě všechno je spojité. Kontrastem, jestliže M(t) označuje množství peněz v bankovním účtu v době t, pak funkce skočí vždy, když peníze jsou uloženy nebo uzavřený, tak funkce M(t) je nesouvislý.
Pro souvislost jak to je použito v topologii, vidět souvislost (topologie).
| Tabulka s obsahem |
| 1 skutečné oceněné spojité funkce 2 spojité funkce mezi metrickými prostory 3 spojité funkce mezi prostory topological 4 spojité funkce na řadových číslovkách 5 také vidět 6 odkazů |
Skutečné oceněné spojité funkce
Předpokládat, že my máme funkci to mapuje reálná čísla k reálným číslům a je definován na nějaké pauze, jako tři funkce h, T a M seshora. Takový funkce může být reprezentována grafem v kartézském letadle; funkce je spojitá jestliže, ostře mluvit, graf je jeden neporušený křivka s žádnými “dírami” nebo “skoky”: jestliže to může být kresleno po ruce bez zvedání tužka od papíru.
To je přesnější, my říkáme, že funkce f je spojitý u nějakého bodu c jestliže pokračování tři požadavky jsou uspokojené:
- f(c) muset být definován (tj. c muset být prvek domény f)
- limit f(x), jak x přístupy c, muset existovat
- Limit f(x), jak x přístupy c, muset se rovnat f(c)
Bez uchylovat se k limitům, jeden může definovat návaznost skutečných funkcí takto.
Znovu zvažovat funkci f to mapuje soubor reálných čísel k dalšímu souboru reálných čísel, a předpokládat c je prvek domény f. Funkce f je řekl, aby byl spojitý na místě c jestliže (a jediný jestliže) následující držení: Pro nějaké kladné číslo a epsilon; nicméně malý, tam existuje nějaké kladné číslo a delta; takový to pro všechny x s c - a delta; x c + a delta;, hodnota f(x) uspokojí f(c) - a epsilon; f(x) f(c) + a epsilon;. Toto “epsilon-definice delty” souvislosti byl nejprve daný Cauchy.
Více intuitivně, my můžeme říkat, že jestliže my chceme dostat celá f(x) hodnoty k pobytu v některých malý sousedství kolem f(c), my prostě potřebujeme si vybrat malý dost sousedství pro x hodnoty kolem c, a my můžeme dělat to bez ohledu na to jak malý f(x) sousedství je.
- Všechny polynomials jsou spojité, a tak být exponenciální funkce, logaritmy, funkce druhé odmocniny a goniometrické funkce.
- absolutní hodnotová funkce je také spojitá.
- Příklad nespojité funkce je funkce f definovaný f(x) = 1 jestliže x > 0, f(x) = 0 jestliže x a le; 0. Výběr pro příklad a epsilon; = 1/2. Tam je ne a delta; - sousedství kolem x= 0 ta síla vůle celá f(x) hodnoty být uvnitř a epsilon; f(0). Intuitivně my můžeme myslet na nesouvislost jako náhlý skok v hodnotách funkce.
Fakty o spojitých funkcích
Jestliže dvě funkce f a g být spojitý, pak f + g a fg jsou spojité. Jestliže g(x) a ne; 0 pro všechny x v doméně, pak f/g je také spojitý.
Složení f o g dvou spojitých funkcí je spojitý.
přechodný hodnotový teorém je existenční věta, založený na vlastnosti reálného čísla úplnostia státech: “jestliže skutečný-cenil funkci f(x) je spojitý na uzavřené pauze [, b] a k je nějaké číslo mezitím f() a f(b), pak je nějaké číslo c v [, b] takový to f(c) = k. Například, jestliže dítě podstoupí průběžný růst od 1m k 1.5m mezi věky 2 roků a 6 roků, pak, u nějakého času mezi 2 roky a 6 roků věku, výška dítěte musí rovnali se 1.25m.
Jako důsledek, jestliže f(x) je spojitý na [, b] a f() a f(b) se lišit v znamení, pak, na nějakém místě c, f(c) muset se rovnat nule.
Jestliže funkce f je definován na uzavřené pauze [,b] a je spojitý tam, pak funkce dosáhne jeho maxima, tj. tam existuje ca isin; [,b] s f(c) a ge; f(x) pro všechny xa isin; [,b]. Stejný je pravdivý pro minimum f. (poznamenat, že tato sdělení jsou nepravdivá jestliže naše funkce je definována na otevřené pauze (,b). Zvážit to například spojitá funkce f(x) = 1 /x definovaný na otevřené pauze (0, 1).)
Jestliže funkce je differentiable na nějakém místě c jeho domény, pak to je také spojité u c. Hovořit je ne pravdivý: funkce, která je spojitá u c potřeba ne být differentiable tam. Zvážit to například absolutní hodnota fungovat v c= 0.
Spojité funkce mezi metrickými prostory
Nyní zvažovat funkci f od jednoho metrického prostoru (X, dX) k dalšímu metrickému prostoru (Y, dY). Pak f je spojitý na místě c v X jestliže pro nějaké pozitivní reálné číslo a epsilon;, tam existuje pozitivní reálné číslo a delta; takový to všichni x v X uspokojující dX(x, c) Y(f(x), f(c))
Toto může také být formulováno v podmínkách sledů a limitech: funkce f je spojitý na místě c jestliže a jediný jestliže pro každou sekvenci (xn) v X s lim limitu xn = c, my jsme lim f(xn) = f(c). Spojité funkce promění limity na limity.
Tato druhá podmínka může být oslabena takto: f je spojitý na místě c jestliže a jediný jestliže pro každou konvergentní sekvenci (xn) v X s limitem c, sekvence (f(xn)) je Cauchy sekvence. Spojité funkce přemění konvergentní sekvence do Cauchy sekvencí.
Spojité funkce mezi prostory topological
Nahoře definice spojitých funkcí mohou být celkové k funkcím od jedněch topological prostorů k jinému v přirozené cestě; funkce f : X a rarr; Y, kde X a Y jsou prostory topological, je spojitý iff pro každý otevřený soubor V a sube; Y, f-1(V) je otevřený v X.
Spojité funkce na řadových číslovkách
V axiomatické teorii množin, funkce f : Ord a rarr; Ord, kde Ord kandiduje na třídu řadových číslovek, je definován být spojitý iff pro každý limit pořadový a gama;, f(a gama;) = {f(a nu;): a nu;
Odkazy
- Vizuální počet Lawrence S. Husch, Univerzita Tennessee (2001)