Hypotéza kontinua
V matematice, hypotéza kontinua je hypotéza o možných velikostech nekonečný soubory. Georg Cantor představil pojetí mohutnosti porovnat velikosti nekonečných množin, a on ukazoval to soubor celých čísel (naivně: celá čísla) je přísně menší než soubor reálných čísel (naivně: nekonečné desetiny) hypotéza kontinua řekne pokračování:
Není tam žádný soubor jehož velikost je přísně mezi tím celých čísel a to reálných čísel.
Nebo matematicky mluvit, všímat si toho mohutnost pro celá čísla je (#rquotealeph-nula”) a mohutnost pro reálná čísla je, hypotéza kontinua říká:
| Tabulka s obsahem |
| 1 vyšetřovat hypotézu kontinua 2 nemožnost důkazu a vyvrácení 3 celkové kontinuum hypotéza 4 vidět také 5 odkazů |
Zvažujte soubor všech racionálních čísel. Jeden by mohl naivně předpokládat, že tam jsou více racionální čísla než celá čísla, a méně racionálních čísel než reálná čísla, tak vyvracet hypotézu kontinua. Nicméně, to vypne to racionální čísla mohou být umístěna v osobní korespondenci s celými čísly a proto soubor racionálních čísel je stejný velikost jako soubor celých čísel. (Vidět spočitatelnou množinu)
Jestliže soubor S se nalézal to vyvrátilo hypotézu kontinua, to by bylo nemožné dělat osobní korespondenci mezitím S a soubor celých čísel, protože tam by vždy byl prvky souboru S to bylo “odešel přes”. Podobně, to by bylo nemožné dělat osobní korespondenci mezitím S a soubor reálných čísel, protože tam by vždy byl reálná čísla, která byla “odešel přes”.
Cantor věřil hypotéze kontinua být pravdivý a se snažil o mnoho roků se ukázat jako to, marně. To stalo se první na David Hilbertově seznamu důležitý otevřené otázky to bylo představováno u mezinárodního matematického kongresu v roku 1900 v Paříži.
Kurt Gödel ukázaný v 1940 to hypotéza kontinua (CH v krátkosti) moci ne být vyvrácen od standardu Zermelo-Fraenkel dal teorii systém axióma, dokonce jestliže axiom výběru je přijat. Paul Cohen se ukázal v roce 1963 ten CH nemůže být dokázaný od těch stejných axiómů jeden. Proto, CH je nezávislý Zermelo-Fraenkel axiómový systém a axioma výběru. (oba těchto výsledků převzít to Zermelo-Fraenkel axiómy sám neobsahují rozpor, něco to široce věřilo být pravdivý ale nemožný ukázat se jako.)
Jako takový to není překvapující to tam by mělo být sdělení, která nemohou být dokázaná ani vyvrácený uvnitř daného axiómového systému; ve skutečnosti obsah Gödel je incompleteness teorém je že taková sdělení vždy existují jestliže systém axióma je silný dost a bez rozporů. Nezávislost CH byla ještě znepokojující nicméně, protože to byl první konkrétní příklad důležité, zajímavé otázky kterého to mohlo být dokázané že to nemohlo být rozhodnuto jedna cesta ze všeobecně přijímaného základního systému axiómů na které matematice je stavěna.
Hypotéza kontinua je blízko příbuzná mnoha sdělením v analýze, bod dal topologii a teorii míry. V důsledku jeho nezávislosti, mnoho značných dohadů v těch polích následovně bylo ukázané být nezávislý také.
To je zajímavé všimnout si toho Gödel věřil silně ten CH je falešný. K němu, jeho nezávislost důkazu jen ukázala, že převládající soubor axiómů byl vadný. Gödel byl platonist a proto měl žádné problémy s tvrdící pravdou a klam sdělení nezávislých na jejich provability. Cohen, nicméně, byl formalist, ale dokonce on inklinoval k odmítat CH. Nowadays, většina výzkumníků na poli je jeden neutrální nebo odmítnout CH. Obecně mluvit, matematici, kteří favorizují “bohatý” a “velký” vesmír souborů být proti CH, zatímco ti favorizovat “čistý” a “kontrolovatelný” vesmír favorizovat CH. Chris Freiling v roce 1986 představoval argument proti CH: on ukázal, že popření CH je ekvivalentní k prohlášení o pravděpodobnostech, které on volá “intuitivně pravdivý”, ale jiní odporovali.
To řekne hypotézu formálně, my potřebujeme definici: my říkáme, že dva soubory S a T mít stejný mohutnost nebo kardinální číslo jestliže tam existuje bijection S a rarr; T. Intuitivně, toto znamená, že to je možné “se rozdělit” elementy S s elementy T v takový móda ten každý element S je se spároval se přesně jedním elementem T a versa zlozvyku. Cantorův úhlopříčný argument ukáže, že celá čísla a kontinuum nemají stejnou mohutnost.
Hypotéza kontinua řekne to každá podmnožina kontinua (= reálná čísla) který obsahuje celá čísla jeden má stejnou mohutnost jako celá čísla nebo stejnou mohutnost jako kontinuum.
zevšeobecnil hypotézu kontinua (GCH) řekne to jestliže mohutnost nekonečné množiny leží mezi tím nekonečné množiny S a to elektrického souboru S, pak to jeden má stejnou mohutnost jako soubor S nebo stejný mohutnost jako soubor síly S: tam být ne v-betweens. Toto je zevšeobecňování hypotézy kontinua od té doby, co kontinuum má stejnou mohutnost jak elektrický soubor celých čísel. GCH je také nezávislý na Zermelo-Fraenkel dal axiómy teorie a to implikuje axiom výběru.
Odkazy
- Nancy Mcgoughová.: Hypotéza kontinua, http://www.ii.com/math/ch/
- Cohen, P. J: Dal teorii a hypotézu kontinua. New York: W. A. Benjamin, 1966.
- Gödel, K: Důslednost kontinua-hypotéza. Princeton, NJ: Princeton univerzita Press, 1940.
- Gödel, K.: Co je kontinuum Cantora problém?, dotisknutý v Benacerraf a Putnamova sbírka Filozofie matematiky, 2. ed., Cambridge univerzita Press, 1983. An náčrt Gödel je argumenty proti CH.
- H. G. Dales a W. H. Woodin: Úvod k nezávislosti pro analytiky. Cambridge (1987).
- Chris Freiling: “axiómy symetrie: Vrhat šipky na linku reálného čísla,” Žurnál symbolické logiky, hlasitost 51 (1986), záležitost 1, pp. 190-200.