Generace (teorie kategorie)
V matematice, myšlenka na generaci přišla ke státu pro velmi obecný nápad, rozšiřovat intuitivní nápad ' klížení ' v topologii. Protože lepidlo topologists je vlastně použití vztahů rovnocennosti na topological rozmístí, teorie začíná některými myšlenkami na identifikaci. Důvod pro abstrakci tady je, na základní úrovni, ten přechod k prostoru kvocientu není velice vychovaný v topologii: více přesně, to je výsledek úsilí používat teorii kategorie dostat se dokola obviněný ' surovost ' ukládat vztahy rovnocennosti uvnitř geometrických kategorií.Nápady tady vzkvétaly v době 1955-1965 (který byl ostře čas u kterého požadavky algebraické topologie byly potkány ale ti algebraické geometrie byl ne). Od bodu pohledu na teorii kategorie práce comonads Becka byla shrnutí těch nápadů. Obtíže algebraické geometrie s přechodem k kvocientu jsou akutní: to je jako když dělá non-komutativní geometrie Connes, ke zmínce nyní-módní teorie v oblasti ' špatné kvocienty , ale s polynomials k odděleným bodům, poněkud než obecné spojité funkce. Naléhavost (dát to ta cesta) problému pro účty geometrů pro titul 1959 Grothendieck semináře TDTE na teorémech z původu a technikách existence spojení generačního problému s representable functor otázku v algebraické geometrii oběcně a moduli problém zvláště. Jak s množstvím abstraktnějších letů Grothendieck školy, pozdnější práce se spoléhala na některé toto a obešel jiné části (do rozsahu to doklady, publikoval jediný v mimeographed formě, smět už stali se těžcí objevit). Práce nemnoho roků pozdnější David Mumford v jeho geometrická teorie invariantů okázale míchala schéma a kategorické techniky s více betonovou geometrií, k pojmu moduli rozmístí pro křivky a rozmanitosti abelian (poprvé, v požadovaném technickém smyslu ' moduli '). Sestup svazků vektoru
Případ konstrukce vektoru páskuje od dat na disjoint odboru prostorů topological je přímé místo k začátku. My předpokládáme daný prostor X, všeobecná pojistka Xi X a soubor Y být disjoint odbor Xi, tak to přirozené mapování p: Y - > X je dáván také. My myslíme na Y jak ' nahoře ' X, s Xi projekce ' dole ' na X. s tímto jazykem, generace implikuje svazek vektoru na Y (tak, svazek dávaný na každém Xi), a naše znepokojení je k ' lepidlo ' ty svazky Vi, udělat jediný balík V na X. co my míníme je to V should, když omezil se na Xi, vrátit Vi, nahoru k izomorfismus svazku.
Data potřebovala je pak toto: na každém překrývání Xij, křižovatka Xi a Xj, my budeme vyžadovat mappings fij k použití identifikovat Vi a Vj tam, vlákno vláknem. Další fij muset splnit podmínky umístěný na reflexivní, symmetric a tranzitivní vlastnosti vztahu rovnocennosti (lepit podmínky). Například fijjk = fik pro transitivity (a si vybírat vhodný zápis). Fii should být identita mapuje a od této doby symetrie se stane invertibility fij (tak že to fiberwise izomorfismus).
Tito jsou opravdu normální podmínky v svazku vláken teorie. Jedno důležité použití v poznámce je změna vlákna: jestliže fij jsou všichni vy potřebujete udělat balík, pak tam je mnoho způsobů, jak dělat sdružený svazek. To je, nezbytně stejný fij, jednat podle různých vláken.
Další podstatný bod je vztah s pravidlem řetězu: diskuze o cestě tam postavit tensor pole mohou být představována jak ' jakmile vy učíte se sestupovat svazek tangenty, pro kterého transitivity je Jacobian přiváže pravidlo, zbytek je jen naturality tensor stavby .
K pohybu k abstraktní teorii my potřebujeme interpretovat disjoint odbor Xij nyní jako YxXY, produkt vlákna (tady ekvalizér) dvou kopií projekce p. svazky na Xij že my musíme řídit být vlastně V ' a V”, pullback k vláknu V přes dvě projekční mapy k X.
Proto tím, že jde do více abstraktní úrovně jeden může vyloučit combinatorial stranu (to je, vynechat indexy) a dostat něco to dává smysl pro p ne speciálního formuláře se kterým my jsme začali. Toto pak poskytne kategorii přístup teorie: co zbývá dělat je k re-vyjadřovat podmínky klížení.