Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Determinant

V lineární algebře, determinant je funkce to se stýká skalární ke každé matici čtverce. Například, 2-- 2 matice

má determinant
.
Předpis pro větší matrices bude daný dole.

Determinant je také někdy označovaný ||, ale tento zápis by měl být odmítán, zatímco to je také používáno naznačovat jiné funkce matice, takový jako druhá odmocnina AA*.

Tabulka s obsahem
1 historie a aplikace
2 definice a počítání
3 vlastnosti
4 zevšeobecňování

Historie a aplikace

Historicky, determinanty byly zvažovány před matrices. Původně, determinant byl definován jako vlastnost systému lineárních rovnic. Determinant “stanoví” zda systém má jedinečné řešení (který nastane přesně jestliže determinant je non-nula). V tomto smyslu, dva-- dva determinanty byly zvažovány Cardano u konce 16. století a větších Leibniz asi 100 roků pozdnější.

Determinanty jsou používány charakterizovat invertible matrices, a k výslovně popisovat řešení systému lineárních rovnic s Cramerovým pravidlem. To může být používáno najít eigenvalues matice přes charaketristické polynomial p(x) = det (-xIn).

Jeden často myslí na determinant jak přiřazení čísla ke každému sledu n vektory v Rn, tím, že používá čtvercovou matici jehož sloupce jsou dané vektory. S tímto pochopením, známka determinanta základu může být používána definovat ponětí o orientaci v Euclidean prostorech.

Determinanty jsou používány spočítat hlasitosti v vektorovém počtu: absolutní hodnota determinanta skutečných vektorů je stejný s objemem parallelepiped překlenul těmi vektory. Jako důsledek, jestliže lineární mapa f : Rn -> Rn je reprezentován maticí , a S je nějaká měřitelná podmnožina Rn, pak hlasitost f(S) je dáván | det () | × hlasitost (S). Více obecně, jestliže lineární mapa f : Rn -> Rm je reprezentován m- -n matice , a S je nějaká měřitelná podmnožina Rn, pak n- rozměrná hlasitost f(S) je dáván a radic; (det (T)) × hlasitost (S).

Definice a výpočet

Předpokládat = (i, j) je čtvercová matice.

Jestliže je 1-- 1 matice, pak det () = 1,1. Jestliže je 2-- 2 matice, pak det () = 1,1 · 2,2 - 2,1 · 1,2. Pro 3-- 3 matice , rovnice je komplikovanější:

det () = 1,1·2,2·3,3 + 1,3·3,2·2,1 + 1,2·2,3·3,1
- 3,1·2,2·1,3 - 1,1·2,3·3,2 - 1,2·2,1·3,3

Pro generála n- -n matice, determinant byl definován Gottfried Leibniz s čím je nyní známý jako Leibniz rovnice:
Součet je počítán přes všechny obměny a sigma; čísel {1,...,n} a sgn (a sigma;) naznačuje podpis obměny a sigma;: + 1 jestliže a sigma; je vyrovnat obměnu a - 1 jestliže to je zvláštní. Vidět skupinu symmetric pro vysvětlení dokonce/zvláštní obměny.

Tato rovnice obsahuje n summands a je proto nepraktický používat jestliže n je větší než 3.

Obecně, determinanty mohou být počítány s Gauss algoritmem používat chápání pravidel:

Výslovně, vyrazit s nějakou maticí, používat poslední tři pravidla změnit to na trojúhelníkovou matici pak použití první pravidlo počítat jeho determinant.

To je také možné rozšířit determinant podél řady nebo sloupec používat Laplace rovnici, který je účinný pro relativně malý matrices. To dělá toto podél řady i, říkat, my píšeme

kde i,j reprezentovat matici cofactors, tj. i,j je (- 1)i+j měří determinant matice, která vyplývá z sejmutím i- th se hádají a j- sloupec th.

Vlastnosti

Determinant je multiplikativní mapa v pocitu, že

det (AB) = det () det (B) pro všechny n- -n matrices a B.
Toto je celkové Cauchy-Binet rovnice k produktům non-matrices čtverce.

To jde snadno vidět ten det (rIn) =rn a tak

det (rA) = rn det () pro všechny n- -n matrices a celý scalars r.

Jestliže invertible, pak
det (-1) = det ()-1.

Matice a jeho přemístit mít stejný determinant:
det () = det (T).

Jestliže a B být podobný, tj. jestliže tam existuje invertible matice X takový to = X-1BX, pak multiplikativní vlastností,
det () = det (B).
Protože toto, jeden může definovat determinant lineární mapy f : V -> V (kde V je konečný-rozměrný vektorový prostor) tím, že si vybere základ pro V, popisovat f jako matice vztažená k tomuto základu, a brát determinant této čtvercové matice. Výsledek nezávisí na základě volený.

Tam existovat matrices, které mají stejný determinant ale jsou ne podobný.

Jestliže je čtverec n- -n matice s skutečný nebo komplexní záznamy a jestliže a lambda;1,..., a lambda;n být (komplex) eigenvalues zaznamenaný shodovat se k jejich algebraickému multiplicities, pak

det () = a lambda;1· a lambda;2·... · a lambda;n.
Toto vyplývá ze skutečnosti, že je vždy podobný jeho Jordán normální formě, horní trojúhelníková matice s eigenvalues na hlavní diagonále.

Od spojení mezi determinantem a eigenvalues, jeden může odvodit spojení mezi funkcí stopy, exponenciální funkcia determinant:

det (exp ()) = exp (tr ()).

Derivát

Determinant skutečného čtvercového matrices je funkce polynomial od Rn×n k R, a jako takový je všude differentiable. Jeho derivát může být vyjádřen používat Jacobiovu rovnici:

d det () = tr (adj () d)
kde adj () naznačuje adjugate . Zvláště, jestliže invertible, my máme
d det () = det () tr (-1 d)
nebo, více hovorově,
det ( + X) - det () a asymp; det () tr (-1 X)
jestliže záznamy v matici X být dostatečně malý. Zvláštní případ kde je stejný s maticí identity Já výnosy
det (Já + X) a asymp; 1 + tr (X).

Zevšeobecňování

To dává smysl definovat determinant pro matrices jehož záznamy přijdou z některého komutativní prsten. Pravidla výpočtu, Leibniz rovnice a slučitelnost s maticovým násobením zůstanou platní, kromě toho nyní matice invertible jestliže a jen když det () je invertible prvek země prsten.

Abstraktně, jeden může definovat determinant jak jistý anti-symmetric mapu multilinear takto: jestliže R je komutativní prsten a M = Rn označí volný R- modul s n generátory, pak

det: Mn -> R
je jedinečná mapa s následujícími vlastnostmi:Lineární Algebraists upřednostňuje používat multilinear mapový přístup definovat determinant, zatímco algebraists upřednostňují použít Leibniz vzorec.