Matice úhlopříčky

V lineární algebře, matice úhlopříčky je čtvercová matice ve kterém jen záznamy v hlavní úhlopříčce non-nula. Záznamy úhlopříčky sám smějí nebo smějí ne být nulový. Tak, matice D = (d_i,j) je úhlopříčka jestliže:

Například, následující matice je úhlopříčka:

Nějaká matice úhlopříčky je také matice symmetric, trojúhelníková matice, a (jestliže záznamy přijdou z pole R nebo C) také normální matice. identitní matice Já_n je úhlopříčka.

Tabulka s obsahem

1 maticové operace 2 Eigenvectors, eigenvalues, determinant 3 použití

Maticové operace

Operace sčítání matice a maticové násobení jsou obzvláště jednoduší pro úhlopříčné matrices. Psát diag (₁,...,_n) pro matici úhlopříčky jehož úhlopříčka spouštění záznamů v horním levém rohu být ₁,...,_n. Pak, pro sčítání, my máme

diag (₁,...,_n) + diag (b₁,...,b_n) = diag (₁+b₁,...,_n+b_n)

a pro maticové násobení,

diag (₁,...,_n) · diag (b₁,...,b_n) = diag (₁b₁,...,_nb_n).

Matice úhlopříčky diag (₁,...,_n) invertible jestliže a jediný jestliže záznamy ₁,...,_n jsou všichni non-nula. V tomto případě, my máme

diag (₁,...,_n)^-1 = diag (₁^-1,...,_n^-1).

Zvláště, matrices úhlopříčky tvoří subring kruhu všech n- -n matrices.

Násobit matici od odešel s diag (₁,...,_n) dosahuje násobit i- th se hádají _i pro všechny i; násobit matici od pravý s diag (₁,...,_n) dosahuje násobit i- th sloupec _i pro všechny i.

Eigenvectors, eigenvalues, determinant

Eigenvalues diag (₁,...,_n) být ₁,...,_n. Jednotkové vektory e₁,...,e_n tvořit základ eigenvectors. Determinant diag (₁,...,_n) je produkt ₁..._n.

Použití

Matrices úhlopříčky se vyskytují v mnohých oblastech lineární algebry. Protože jednoduchého popisu maticové operace a eigenvalues/eigenvectors daný nahoře, to je vždy žádoucí reprezentovat danou matici nebo lineární mapu maticí úhlopříčky.

Ve skutečnosti, daný n- -n matice je podobná k matici úhlopříčky jestliže a jediný jestliže to má n linearly nezávislé eigenvectors. Tyto matrices jsou volány diagonalizable.

Přes pole skutečný nebo komplexní čísla, více je pravdivý: každá normální matice je unitarily podobná k matici úhlopříčky ( spektrální teorém), a každá matice je unitarily ekvivalentní k matici úhlopříčky se záznamy nonnegative ( pozoruhodné hodnotové rozložení).