Dirac rovnice

Dirac rovnice je relativistic quantum mechanický vlnová rovnice vynalezla Paul Dirac v 1928. To podá popis základní se točit-1/2 částečky, takový jako elektrony, to je úplně shodné s principy kvantové mechaniky a velmi shodný s teorií relativnosti speciality. To také účty v přirozené cestě pro povahu rotace částečky a existence antiparticles.

Tabulka s obsahem

1 úvod
2 původ Dirac rovnice

2.1 povaha wavefunction
2.2 spektrum energie
2.3 teorie díry

3 elektromagnetické vzájemné ovlivňování

3.4 vzájemné ovlivňování Hamiltonian

4 Relativistically covariant notaci
5 odkazů

5.5 vybral doklady
5.6 učebnice

Úvod

Od Dirac rovnice byla původně vynalezena popisovat elektron, my budeme obecně mluvit o “elektronech” v tomto článku. Vlastně, rovnice platí o jiných druhách základní rotace-1/2 částečky, takový jako neutrina. Upravená Dirac rovnice může být používána přibližně popisovat protony a neutrony, který být vyroben z menších částeček nazvaný quarks a být proto ne elementární částice.

Dirac rovnice je

kde m je klidová hmotnost elektronu, c je rychlost světla, p je hybnost operátor, je Planck konstanta, x a t jsou prostor a časové osy příslušně, a a psi;(x, t) je čtyři-komponenta wavefunction. (wavefunction musí být vytvořen jak čtyři-komponenta spinor, poněkud než jednoduchý skalární, náležitý k požadavkům relativnosti speciality. Fyzické významy součástí jsou diskutovány dole.) a alpha; ' s jsou lineární operátoři ten akt na wavefunction, psaný jako matice sloupce, jak 4 × 4 matrices známý jako Dirac matrices. Tam je víc než jeden způsob, jak si vybrat soubor Dirac matrices, příhodné výběrové bytí

Dirac rovnice popisuje amplitudy pravděpodobnosti pro jediný elektron. Toto jeden-teorie částečky dává obstojnou předpověď rotace a magnetický moment elektronu a vysvětluje to hodně jemné struktury pozorované v atomových spektrálních čárách. To také učiní zvláštní předpověď to tam existuje nekonečný soubor kvantových stavů ve kterém elektron posedne zápor energie. Tento divný výsledek vedl Dirac předpovídat, přes významnou hypotézu známou jako “teorie díry”, existence částeček chovat se jako nesporně-nabité elektrony. Tato předpověď byla ověřena objevem positron v 1932.

Přes tyto úspěchy, teorie je vadná jeho zanedbáním možnosti vytvářet a ničit částečky, jeden z základních důsledků relativnosti. Tato obtíž je rozdělena tím, že reformulating to jako kvantová polní teorie. Přidávat quantized elektromagnetické pole k tomuto teorie vede k moderní teorii kvantového electrodynamics (QED). Pro více detailní diskuzi o formulaci pole, odkazujte se na článek o Dirac polní teorii.

Původ Dirac rovnice

Dirac rovnice je zvláštní případ Schrödinger rovnice, který charakterizuje věk-evoluce quantum mechanický systém:

Pro výhodu, my budeme pracovat v základě pozice, ve kterém stav systému je reprezentován wavefunction, a psi;(x,t). V tomto základě, Schrödinger rovnice se stojí

kde Hamiltonian H nyní označuje operátora jednat podle wavefunctions poněkud než říkají vektory.

My musíme specifikovat Hamiltonian tak že to přiměřeně popisuje úhrn energie systému v pochybnost. Nechejte nás zvažovat “volný” elektron izolovaný od všech polí vnější síly. Pro non-relativistic modelují, my přijmeme Hamiltonian analogický s kinetickou energií klasické mechaniky (ignorovat rotaci pro moment):

kde p' s jsou hybní operátoři v každém tří prostorových směrů j= 1, 2, 3. Každý operátor hybnosti jedná podle wavefunction jako prostorový derivát:

To popisuje systém relativistic, my musíme objevit různý Hamiltonian. Předpokládat, že operátoři hybnosti udrží nad definicí. Shodovat se k Albert Einstein' s slavná hmota-hybnost-vztah energie, úplná energie systému je dávána

Toto předepíše něco jako

Toto není uspokojivá rovnice, pro to nezachází s časem a prostorem na rovném postavení, jeden z základních zásad relativnosti speciality. Dirac vyvozoval, že od té doby, co správná strana rovnice obsahuje nejprve-objednávat derivát včas, levá strana by měla obsahovat stejně jednoduchý nejprve-objednávat deriváty ve vesmíru (tj. v operátorech hybnosti). Jedna cesta pro toto se stát je jestliže kvantita v druhé odmocnině je dokonalý čtverec. Předpokládat to

kde a alpha; ' s jsou konstanty být předurčený. Rozšiřovat čtverec a srovnávat koeficienty na každé straně, my dostaneme následující podmínky pro a alpha; ' s:

Tady, Já kandiduje na element identity. Tyto podmínky mohou být psány více výstižně jak

kde {...} je anticommutator, definovaný jak {, B}a equiv; AB + BA, a a delta; je Kronecker delta, který má hodnotu 1 jestliže jeho dva indexy jsou se rovnat a 0 jinak.

Tyto podmínky nemohou být uspokojené jestliže a alpha; ' s být obyčejná čísla, ale oni mohou být uspokojení jestliže a alpha; ' s matrices. Matrices musí být Hermitian, tak že Hamiltonian je Hermitian. Nejmenší matrices, které pracují jsou 4 × 4 matrices, ale tam je víc než jedna možná volba nebo reprezentace, matrices. Ačkoli volba reprezentace neovlivní vlastnosti Dirac rovnice, to dělá ovlivnit fyzický význam jednotlivých součástí wavefunction.

V úvodu, my jsme představovali reprezentaci použitý Dirac. Tato reprezentace může být více compactly psaná jak

kde 0 a Já jsem 2 × 2 nula a identita matrices, příslušně, a a sigma;_j' s (j = 1, 2, 3) být Pauli matrices.

To je nyní přímé uskutečnit druhou odmocninu, který dává Dirac rovnici. Hamiltonian v této rovnici,

je volán Dirac Hamiltonian.

Povaha wavefunction

Od wavefunction a psi; je hrán na 4 × 4 Dirac matrices, to musí být čtyři-komponentní objekt. My budeme vidět, v příštím průřezu, to wavefunction obsahuje dva soubory mír svobody, jeden se sdružil s pozitivními energiemi a jiný s negativními energiemi, s každým souborem obsahovat dvě míry svobody to popisovat amplitudy pravděpodobnosti pro rotaci být ukazovat “nahoru” nebo “dole” podél udal směr.

My smíme výslovně psát wavefunction jako matice sloupce:

Dvojí wavefunction může být psán jako matice řady:

kde * horní index naznačuje komplexní konjugaci. Při srovnání, dvojí skalární (jeden-komponenta) wavefunction je jen jeho komplex konjugovat.

Jak v obyčejný jeden-částečková kvantová mechanika, “absolutní čtverec” wavefunction dává hustotu pravděpodobnosti částečky u každé pozice x a čas t. V tomto případě, “absolutní čtverec” je získán maticovým násobením:

Zachování pravděpodobnosti stanoví normalizační podmínku

Nanášením Dirac je rovnice, my můžeme zkoumat místní proud pravděpodobnosti:

Pravděpodobnost aktuální J je dáván

Násobit J nábojem elektronu e dá elektrický proud hustota j vysílal elektronem.

Hodnoty komponent wavefunction závisí na souřadnicovém systému. Dirac se ukázal jak a psi; přemění dolů obecné změny souřadnicové soustavy, zahrnovat rotace do trojrozměrného prostoru stejně jako Lorentz transformace mezi relativistic stanovisky. To vypne to a psi; nepřevádí jako vektor pod rotacemi a je ve skutečnosti druh objektu známého jako spinor.

Spektrum energie

To je poučné najít eigenstates energie Dirac Hamiltonian. To dělá toto, my musíme řešit čas-nezávislý Schrödinger rovnice,

kde ₀ je čas-nezávislá část energie eigenfunction:

Nechal nás hledat letadlo-mávat řešení. Pro výhodu, my se ztotožníme z osa se směrem ve kterém částečka se pohybuje, tak to

kde w je konstanta čtyři-komponenta spinor a p je hybnost částečky, jak my můžeme ověřit tím, že aplikuje operátora hybnosti k tomuto wavefunction. V Dirac reprezentaci, rovnice pro ₀ sesadí na eigenvalue rovnici:

Pro každou hodnotu p, jsou tam dva eigenspaces, oba dvojrozměrný. Jeden eigenspace obsahuje pozitivní eigenvalues a jiný zápor eigenvalues, formy:

Pozitivní eigenspace je trván eigenstates:

a eigenspace záporu eigenstates:

kde

První klenout se nad eigenstate v každém eigenspace přiměje rotaci ukazovat v +z směr (“se točit nahoru”), a druhý eigenstate přiměje rotaci ukazovat v -z směr (“se točit dole”).

V non-limit relativistic, a epsilon; komponenta spinor sesadí na kinetickou energii částečky, který je zanedbatelný se vyrovnal pc:

V tomto limitu, proto, my můžeme interpretovat čtyři wavefunction komponenty jako příslušné amplitudy (i) se točit-nahoru s pozitivní energií, (ii) se točí-dole s pozitivní energií, (iii) se točí-nahoru s záporem energie a (iv) se točí-dole s negativní energií. Tento popis není přesný ve vládním systému relativistic, kde non-nulové spinor komponenty mají podobné velikosti.

Teorie díry

Zápor E řešení nalezená v předchozí sekci jsou problematická, pro relativistic mechanika řekne nám to energie částečky v klidu (p = 0) should být E = mc? poněkud než E = - mc?. Matematicky mluvit, nicméně, tam vypadá, že je žádný důvod pro nás odmítnout zápor-řešení energie. Protože oni existují, my nemůžeme jednoduše ignorovat je, pro jednou my zahrnujeme vzájemné ovlivňování mezi elektronem a elektromagnetické pole, nějaký elektron se umístil v pozitivní-energie eigenstate odkázaný rozpad na zápor-eigenstates energie postupně nižší energie tím, že vypouští přebytečnou práci ve formě fotonů. Skutečné elektrony zřejmě nechovají se tímto způsobem.

To poradí si s tímto problémem, Dirac představil hypotézu, známý jako teorie díry, že prázdné místo je mnoho-tělesný kvantový stav ve kterém celý zápor-energetické elektronové eigenstates jsou zabírány. Tento druh prázdného místa jako “moře” elektronů je nazýván Dirac mořem. Protože Pauli princip vyloučení zakáže elektrony od zabírat stejný stát, nějaký další elektron by byl nucený obsadit pozitivní-eigenstate energie, a pozitivní-elektrony energie by byly zakázané od se rozkládat do záporu-eigenstates energie.

Dirac dále vyvozoval, že jestliže zápor-eigenstates energie jsou incompletely naplněné, každý neobydlený eigenstate - volal díru - by se choval jako pozitivně nabitá částečka. Díra posedne pozitivní energii od té doby, co energie je vyžadována vytvořit částečku-pár díry od prázdného místa. Dirac zpočátku myslel si, že díra byla proton, ale Hermann Weyl poukázal na to díra by měla chovat se jak jestliže to mělo stejnou hmotu jako elektron, zatímco proton je u konce tisíckrát těžší. Díra byla nakonec poznána jako positron, experimentálně objevený Carlem Andersonem v 1932.

Nutností, teorie díry předpokládá, že zápor-elektrony energie v Dirac moři se ovlivňují žádný spolu navzájem ani s pozitivní-elektrony energie. Bez tohoto předpokladu, Dirac moře by produkovalo obrovský (ve skutečnosti nekonečný) množství negativního elektrického náboje, který musí nějak být vyvážen mořem kladného náboje jestliže prázdné místo má zůstat elektricky neutrální. Nicméně, to je docela neuspokojivé pro předpoklad, že pozitivní-elektrony energie by měly být postižené elektromagnetickým polem zápor chvíle-elektrony energie nejsou. Z tohoto důvodu, fyzici vzdali se dírové teorie v prospěch Dirac polní teorie, který obejde problém negativních energetických stavů tím, že bere positrons jako pravdivé částečky. (námitka: v jistých aplikacích zhuštěné záležitostní fyziky, základová pojetí “teorie díry” jsou jistě platná. Moře elektronů vedení v elektrickém vodiči, volal Fermi moře, obsahuje elektrony s energiemi až do chemického potenciálu systému. An unfilled stát v Fermi moři chová se jako nesporně-nabitý elektron, ačkoli to je odkazoval se na jako “díra” poněkud než “positron”. Záporný náboj Fermi moře je vyvážený nesporně-nabitá iontová mříž materiálu.)

Elektromagnetické vzájemné ovlivňování

Doposud, my jsme zvažovali elektron, který není v spojení s nějakými vnějšími poli. Pokračovat analogií s Hamiltonian nosiče proudu v klasickém electrodynamics, my můžeme upravit Dirac Hamiltonian zahrnovat účinek elektromagnetického pole. Revidoval Hamiltonian je (v Sii jednotky):

kde e je elektrický náboj elektronu, a a a phi; být elektromagnetický vektor a skalární potentials, příslušně. Tady, potentials jsou psány jak přesně-specifikoval funkce času t a operátor pozice x. Toto je přiblížení semiclassical, které je platné když kvantové fluktuace pole (tj., emise a absorpce fotonů) být ne důležitý.

Nastavením a phi; = 0 a pracovat v non-relativistic vymezí, Dirac platil pro vrchol dvě komponenty v pozitivní-energie wavefunctions (který, jak diskutoval dříve, jsou dominantní komponenty v non-limit relativistic), trvat

kde B = a nabla; × magnetické pole jedná podle částečky. Toto je přesně Pauli rovnice pro non-relativistic se točí-1/2 částečka, s magnetickým momentem (tj., rotace g-faktor 2). Skutečný magnetický moment elektronu je větší než toto, ačkoli jediný o 0.12%. Nedostatek je způsobený kvantovými fluktuacemi v elektromagnetickém poli, který byli zanedbaní.

Na několik let po objevu Dirac rovnice, většina fyziků věřilo, že to také popisovalo proton a neutron, který jsou oba rotace-1/2 částečky. Nicméně, začínat experimenty Zádi a Frisch v 1933, magnetické momenty těchto částeček se nalézaly odporovat významně s předpověďmi Dirac rovnice. Proton má magnetický moment 2.79 časy větší než předpovídal (s protonem hmota vložila pro m v nad rovnicemi), tj., g-faktor 5.58. Neutron, který je elektricky neutrální, má g-faktor -3.83. Tyto “neobvyklé magnetické momenty” byly první experimentální znamení, že proton a neutron nejsou elementární částice. Oni jsou ve skutečnosti složený z menších částeček volal quarks.

Vzájemné ovlivňování Hamiltonian

To je pozoruhodné že Hamiltonian může být psán jako suma dvou termínů:

kde _el je Dirac Hamiltonian pro volný elektron a _int je Hamiltonian elektromagnetického vzájemného ovlivňování. Latter smět být psán jak

To má finanční efekt

kde a rho; je elektřina hustota náboje a j je elektřina proudová hustota. Integrand ve finálním výrazu je vzájemné ovlivňování hustota energie. To je relativistically covariant skalární veličina, zatímco my můžeme vidět tím, že zapíše to podmínky proudu-poplatek čtyři-vektor j = (a rho; c,j) a potenciál čtyři-vektor = (a phi; / c,):

kde a eta; je metrický plochého spacetime:

Relativistically covariant notaci

Nechejte nás se vrátit k Dirac rovnici pro volný elektron. To je často užitečné zapsat rovnici relativistically covariant formu, ve kterém deriváty s časem a prostor jsou zpracovaní na stejné pozici.

Dělat toto, nejprve si vzpomenout na to operátor hybnosti p funguje jako prostorový derivát:

Násobit každou stranu Dirac rovnice ₀ (vzpomínat si to ₀²=I) a zapojovat se nad definicí p, my trváme

Nyní, vymezit čtyři matrices gamy:

Tyto matrices mají vlastnost to

kde a eta; jakmile znovu kandiduje na metrický plochého spacetime. Tyto vztahy definují Clifford algebru volal Dirac algebru.

Dirac rovnice může nyní být psána, využívat pozici-čas čtyři-vektor x = (ct,x), jak