Skalární součin

V matematice, skalární součin je binární operace který bere dva vectorss a vrátí skalární veličinu. To je také známé jako skalární součin nebo skalární součin.

To je definováno jak:

kde a théta; je úhel mezi dvěma vektory. Tak, tečkový produkt dvou svislých vektorů je vždy nulový. Jestliže a b jsou oba jednotkové vektory (ie délky 1), skalární součin jednoduše dává cosine úhlu mezi nimi. Tak, daný dva vektory, úhel mezi nimi může být najit tím, že přeskupí nad rovnicí:

Skalární součin je zvláště použit v řešení sil. Jestliže b je jednotkový vektor pak skalární součin dává projekci v směru b. V mechanice, toto dává součást síly v tom směru.

Práce je tečkový produkt síly a vysídlení.

Vlastnosti

Definice má následující důsledky:

• skalární součin je komutativní, tj. ·b = b·.
• dva non-nulové vektory a b být svislý jestliže a jediný jestliže ·b = 0
• skalární součin je bilinear, tj. · (rb + c) = r (·b) + (·c)

Od těchto to následuje přímo to tečkový produkt dvou vektorů = [_{1 2 3}] a b = [b₁ b₂ b₃] daný v osy mohou být počítány obzvláště snadno:

·b =₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

nebo, používat maticové násobení a zacházet s vektory jak 1-- 3 matrices:

·b = b^T

kde b^T označí přemístit matice b.

Skalární součin uspokojí všechny axiómy skalárního součinu. V abstraktním vektorovém prostoru, ponětí o úhlu mezi prvky prostoru může být definované v podmínkách skalárního součinu.

Důkaz, že dvě formy definice jsou rovnocenné

; To je, daný:·b =₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ; pocházet:·b = ||. |b|. cos (a théta;),; nebo používat názvosloví x pro |x|:·b = a.b.cos (a théta;).

Tento důkaz je ukazován pro 3-rozměrné vektory, ale je rychle prodloužitelný k N-rozměrné vektory daný vzájemně svislé jednotkové vektory.

; Zvažovat vektor:v = v₁i + v₂j + v₃k.; opakovaná žádost Pythagorean teoréma určuje to: v² =(v₁² + v₂² + v₃²).; který je stejný předpis pro tečkový produkt vektoru v s sebou, tak:v·v = v².

; Nyní zvažovat dva vektory a b od původu a oddělený úhlem a théta;. Třetí vektor c smět být definován jak:c = -b.; používat právo cosines, my máme: c² = a² + b² - 2.a.b.cos (a théta;).; a substituting skalární součin pro čtvercové délky, my dostaneme:c·c = · + b·b - 2.a.b.cos (a théta;).; ale jak c = - b, my také máme: c·c = ( - b) · ( - b).; který expanduje k:c·c = · + b·b - 2.·b.; pak se ponořovat dva c·c rovnice, které my dostaneme:· + b·b - 2.·b = · + b·b - 2.a.b.cos (a théta;).; odečítat · + b·b od obou listů stran: - 2.·b = - 2.a.b.cos (a théta;).; a dělit se - 2 odvodí finále:·b = a.b.cos (a théta;).

Viz též: Produkt kříže