Dvojí prostor

V matematice, existence ' dvojí ' vektorový prostor přemýšlí v abstraktní cestě vztah mezi řádkovými vektory (1xn) a sloupcové vektory (nx1). Stavba může také se konat pro nekonečný-dimenzionální prostory a dá svah důležitým způsobům, jak se dívat na míry, distribuce a Hilbert prostor. Použití dvojího prostoru v nějaké módě je tak charakteristické pro funkční analýzu. To je také vlastní v Fourier převádí.

Tabulka s obsahem

1 algebraický dvojí prostor 1.1 příklady 1.2 přemístit lineární mapy 1.3 Bilinear produkty a dvojí prostory 1.4 injekce do dvojitý-dvojí 2 spojitý dvojí prostor 2.5 příklady 2.6 další vlastnosti

Algebraický dvojí prostor

Daný nějaký vektorový prostor V přes nějaké pole F, my definujeme dvojí prostor V * být soubor všech lineárních functionals na F, tj., skalární- cenil lineární transformace na V (v tomto kontextu, “skalární” je člen základu-pole F). V * sám se stane prostorem vektoru přes F pod následující definicí sčítání a skalárního násobení:

(a phi; + a psi;) (x) = a phi; (x) + a psi; (x)

(a phi;) (x) = a phi; (x)

pro všechny a phi;, a psi; v V *, v F a x v V. v jazyce tensors, elementy V být někdy nazýván contravariant vektorya elementy V *, covariant vektory nebo jeden-formy.

Příklady

Jestliže rozměr V je konečný, pak V * má stejnou velikost jak V; jestliže {e₁,...,e_n} je základ pro V, pak sdružil dvojí základ {e¹,...,eⁿ} V * je dáván

Konkrétně, jestliže my jsme intepret Rⁿ jako doba sloupců n reálná čísla, jeho dvojí prostor je typicky psaný jako doba řad n reálná čísla. Takový řada jedná podle Rⁿ jak lineární funkční obyčejný maticové násobení.

Jestliže V sestává z prostoru geometrický vectorss (šipky) v letadle pak elementech dvojí V * moci být intuitivně reprezentován jako sbírky rovnoběžek. Takový sbírka linek může být aplikována na vektor dát číslo následujícím způsobem: jeden počítá kolik linek vektor se kříží.

Jestliže V je nekonečný-rozměrný, pak nad stavbou eⁱ neprodukuje základ pro V * a rozměr V * je větší než to V. zvážit to například prostor R^{(a omega;)}, jehož elementy jsou ty sledy reálných čísel, která jen finitely mnoho non-nulové záznamy. Dvojí tohoto prostoru je R^{a omega;}, doba všech sledů reálných čísel. Takový sekvence (_n) je aplikován na element (x_n) R^{(a omega;)} dávat číslo a součet;_nnx_n.

Přemístit lineární mapy

Jestliže f: V -> W je lineární mapa, my můžeme vymezit jeho přemístit ^tf : W * -> V *

^tf (a phi;) = a phi; o f    pro každý a phi; v W *.

Domácí cvičení f |-> ^tf produkuje injective homomorphism mezi dobou lineárních operátorů od V k W a doba lineárních operátorů od W * k V *; tento homomorphism je izomorfismus iff W je konečný-rozměrný. Jestliže lineární mapa f je reprezentován maticí s ohledem na dva základy V a W, pak ^tf je reprezentován přenesenou maticí ^t s ohledem na dvojí základy W * a V *. Jestliže g: W -> X je jiný lineární mapa, my máme ^t(g o f) = ^tf o ^tg. V jazyce teorie kategorie, brát dvojí vektorových prostorů a přemístit lineárních map je proto contravariant functor od kategorie vektorových prostorů přes F k sobě.

Bilinear produkty a dvojí prostory

Jak my jsme viděli nahoře, jestliže V je konečný-rozměrný, pak V isomorphic k V *, ale izomorfismus není přirozený a závisí na základě V my jsme vyrazili s. Ve skutečnosti, nějaký izomorfismus a Phi; od V k V * definuje jedinečný non-zvrhlík bilinear produkt na V

= (a Phi; (v )) (w)

a naopak každý takový non-zvrhlík bilinear produkt na konečný-dimenzionální prostor dá svah izomorfismu od V k V *.

Injekce do dvojitý-dvojí

Tam je předurčený člověk homomorphism a Psi; od V do dvojitý dvojí V * *, definovaný (a Psi; (v )) (a phi;) = a phi; (v) pro všechny v v V, a phi; v V *. Tato mapa a Psi; je vždy injective; to je izomorfismus jestliže a jediný jestliže V je konečný-rozměrný.

Spojitý dvojí prostor

Když se zabývá normed vektorovým prostorem V (např., Banach prostor nebo Hilbert prostor), jeden typicky je jen zainteresovaný v spojitý lineární functionals od prostoru do pole základu. Tito tvoří normed vektorový prostor, nazvaný spojitý dvojí V, někdy jen volal dvojí V. To je označováno V '. Standard | | a phi; | | spojitý lineární funkční na V je definován

| | a phi; | | = popíjet {| a phi; (x) |: | | x | | a le; 1}

Toto se otočí spojitý dvojí do normed vektorového prázdna, opravdu do Banach prázdna.

Jeden může také mluvit o spojitý dvojí libovolný topological vektorový prostor. Toto je nicméně hodně tvrdější k dohodě s od toho vůle oběcně ne být normed vektorový prostor v nějaké přirozené cestě.

Příklady

Pro některého konečný-rozměrný normed vektorový prostor nebo topological vektorový prostor, takový jak Euclidean n- prostor, spojitý dvojí a algebraický dvojí splývat.

Nechaný 1 p l ^p celého prostoru sekvencí sekvencí = (_n) pro kterého

je konečný. Definovat číslo q 1 /p + 1 /q = 1. Pak spojitý dvojí l ^p je přirozeně identifikoval se s l ^q: daný element a phi; a isin; (l ^p) ', korespondenční element l ^q je sled (a phi; (e_n)) kde e_n naznačuje sekvenci jehož nth termín je 1 a všichni jiní jsou nula. Naopak, daný element = (_n) a isin; l ^q, odpovídat si spojitý lineární funkční a phi; na l ^p je definován a phi; () = a součet;_{n n} b_n pro všechny = (_n) a isin; l ^p (viz Hölder nerovnost).

V podobném způsobu, spojitý dvojí l ¹ je přirozeně identifikoval se s l ^{a infin;}. Dále, nepřetržité duals Banach prostorů c (sestávat ze všech konvergentních sekvencí, s normou supremums) a c₀ (sekvence soustředit se k nula) jsou oba přirozeně identifikoval se s l ¹.

Další vlastnosti

Jestliže V je Hilbert prostor, pak jeho spojitý dvojí je prostor Hilberta, který je anti-isomorphic k V. Toto je obsah Riesz teorém reprezentace, a dává svah k podprsenka-ket notace použitý fyziky v matematickém vyjadřování kvantové mechaniky.

V analogii s případem algebraický dvojitý dvojí, tam je vždy přirozeně definovaný injective nepřetržitý lineární operátor a Psi;: V a rarr; V ' ' od V do jeho spojitý dvojitý dvojí V ' '. Tato mapa je ve skutečnosti isometry, mínit | | a Psi; (x) | | = | |x| | pro všechny x v V. Prostory pro kterého mapa a Psi; je bijection být volán reflexivní.

Spojitý dvojí moci být používán definovat novou topologii na V, volal slabou topologii.