Efektivní výsledky v teorii čísel

Pro historické důvody a aby měl použití k řešení Diophantine rovnic, výsledky v teorii čísel byly zkoumané více než v jiných odvětvích matematiky vidět jestliže jejich obsah je účinně vypočitatelný. Toto například přináší v pochybnost nějaké použití velký O notace a jeho implikované konstanty: jsou tvrzení čisté existenční věty pro takové konstanty, nebo může jeden obnovit verzi ve kterém 1000 (říkat) zabere místo implikované konstanty?

Mnoho z ředitele výsledky analytické teorie čísel dokazovaly v době 1900-1950 byl ve skutečnosti neúčinný. Tito zahrnoval nižší hranice pro čísla třídy (ideální prvotřídní skupiny pro některé rodiny polí čísla rostou); a směřuje k nejlepším rozumným přiblížením k algebraickým číslům v podmínkách jmenovatelů. Tito latter mohl být čten docela přímo jako výsledky na Diophantine rovnicích, po práci Thue. Výsledek užitý na Liouville čísla v důkazu je efektivní způsobem to aplikuje teorém střední hodnoty: ale zlepšení (k čemu je nyní Thue-Siegel-Roth teorém) byl ne.

Pozdnější výsledky, zvláště Pekaře, změnil postoj poněkud. Slabší teorémy, kvalitativně mluvit, ale s explicitními konstantami, moci vlastně být aplikován, v spojení s počítáním stroje, se ukázat jako to seznamy řešení (podezřelý být kompletní) být vlastně celé řešení zapadlo.

Obtíže tady byly potkány radikálně odlišnými důkazovýma technikami, brát hodně více se starat o důkazy rozporem. Zahrnutá logika je blíže k teorii důkazu, než k tomu teorie vypočitatelnosti a rekurzivní funkce. To je poněkud volně se domníval, že obtíže mohou spočívat v oblasti výpočetní teorie složitosti. Neúčinné výsledky ještě jsou dokázané ve tvaru nebo B, kde my máme žádný způsob, jak říct kterému.