Eigenvector

V lineární algebře, eigenvectors (od Němce eigen význam “neodmyslitelný, charaketristický”) lineárního operátora non-nulové vektory který, když operoval operátorem, vyústit ve skalární násobek sebe. Skalární je pak nazvaný eigenvalue sdružil se s eigenvector.

V aplikované matematice a fyzice eigenvectors matice nebo operátor diferencovanosti často mají důležitý fyzický význam. V klasické mechanice eigenvectors řídících rovnic typicky odpovídat přirozeným způsobům chvění v těle a eigenvalues k jejich frekvencím. V kvantové mechanice, operátoři odpovídají pozorovatelným proměnným, eigenvectors jsou také nazvané eigenstatesa eigenvalues operátora představují ty ceny korespondenční proměnné to non-nulová pravděpodobnost nastávat.

Tabulka s obsahem

1 příklady
2 definice
3 nálezové eigenvectors
4 charaketristické polynomial
5 eigenvectors komplexu
6 nekonečných rozměrů
7 externích spojení

Příklady

Intuitivně, pro lineární transformace dvojrozměrného prostoru R², eigenvectors jsou tak:

rotace: žádné eigenvectors
odraz: eigenvectors jsou svislé a paralelní k řadě symetrie, eigenvalues jsou - 1 a 1, příslušně
olupovat: všechny vektory jsou eigenvectors a eigenvalue je měřítko
projekce na lince: eigenvectors s eigenvalue 1 být souběžný s linkou, eigenvectors s eigenvalue 0 být souběžný se směrem projekce

Definice

Formálně, my definujeme eigenvectors a eigenvalues takto: Jestliže : V -> V je lineární operátor na nějakém vektorovém prostoru V, v je non-vynulovat vektor v V a c je skalární (možná nulový) takový to

pak my říkáme, že v je eigenvector operátora , a jeho sdružený eigenvalue je. Si všimnout toho jestliže v je eigenvector s eigenvalue pak nějaký non-nula rozmanitý v je také eigenvector s eigenvalue. Ve skutečnosti, celý eigenvectors se sdruženým eigenvalue, spolu s 0, tvořit subspace V, eigenspace pro eigenvalue.

Eigenvectors nálezu

Například, zvažovat matici

který reprezentuje lineárního operátora R³ -> R³. Jeden může zkontrolovat to

a proto 2 je eigenvalue a my jsme našli korespondenční eigenvector.

Charaketristické polynomial

Důležitý nástroj pro popisovat, jak eigenvalues čtverce matrices je charaketristické polynomial: pověst, že c je eigenvalue je ekvivalent k říkat, že systém lineárních rovnic ( - cJá) x = 0 (kde Já je identita matice) má non-nulové řešení x (jmenovitě eigenvector), a tak to je ekvivalentní k determinantu det ( - c Já) být nulový. Funkce p(c) = det ( - cJá) je polynomial v c protože determinanty jsou definovány jako sumy produktů. Toto je charaketristické polynomial ; jeho nuly jsou přesně eigenvalues . Jestliže je n- -n matice pak jeho charakteristika polynomial má titul n a moci proto mít u nejvíce n eigenvalues.

Se vracet k příkladu nahoře, jestliže my jsme chtěli počítat všechny ' s eigenvalues, my jsme mohli určovat vlastnost polynomial nejprve:

a protože my vidíme to eigenvalues být 2, 1 a - 1.

(V praxi, eigenvalues velkého matrices nejsou vypočítavé využití vlastnosti polynomial. Rychleji a více číselně stabilní metody jsou dostupné, například QR rozložení.)

Eigenvectors komplexu

Si všimnout toho jestliže je skutečná matice, charaketristický polynomial bude mít skutečné koeficienty, ale ne všichni jeho kořeny budou nutně být skutečné. komplex eigenvalues budou všichni spojení ke komplexnímu eigenvectors.

Obecně, jestliže v₁,..., v_m jsou eigenvectors k různému eigenvalues a lambda;₁,..., a lambda;_m, pak vektory v₁,..., v_m být nutně linearly nezávislý.

spektrální teorém pro symmetric matrices řekne to, jestliže je skutečný symmetric n- -n matice, pak všichni jeho eigenvalues jsou skutečné, a tam existovat n linearly nezávislé eigenvectors pro který všichni mají délku 1 a být vzájemně orthogonal.

Naše matice příkladu seshora je symmetric a tři vzájemně orthogonal eigenvectors být

Tyto tři vektory tvoří základ R³. S ohledem na tento základ, lineární mapa reprezentovala přijme obzvláště jednoduchou formu: každý vektor x v R³ moci být psán jedinečně jak

a pak my máme

Nekonečné rozměry

Představa o eigenvectors může být rozšířena k lineárním operátorům jednat podle nekonečných rozměrných Hilbert prostorů nebo Banach prostorů. Ve skutečnosti, toto je důležité téma v Funkční analýze. Viz též: spektrum,spektrální teorém