Prázdná množina
V matematice, prázdná množina je soubor s žádnými elementy.| Tabulka s obsahem |
| 1 notace 2 vlastnosti 3 běžné problémy 4 axiomatická teorie množin 5 to existuje nebo je to nutné? 6 operací na prázdné množině 7 vyprázdnit soubor a nulu 8 teorie kategorie |
Notace
Tady my budeme notate prázdnou množinu {}, ale další pozoruhodná notace, vynalezený Bourbaki je symbolizmus nebo a se vyprázdnit;, který je zaokrouhlený někdy glyph “Ř” a zmatený občas s Řeckým dopisem “a phi;”.
(Tady my používáme matematické symbolss.)
- Pro některého soubor , prázdná množina je podmnožina :
- a forall;: {} a sube;
- Pro nějaký soubor , odbor s prázdnou množinou je :
- a forall;: a pohár; {} =
- Pro nějaký soubor , křižovatka s prázdnou množinou je prázdná množina:
- a forall;: a čepice; {} = {}
- Pro nějaký soubor , kartézský součin a prázdná množina je prázdná:
- a forall;: × {} = {}
- Jediná podmnožina prázdné množiny je prázdná množina sám:
- a forall;: a sube; {} a rArr; = {}
- mohutnost prázdné množiny je nula; zvláště, prázdná množina je konečná:
- |{}| = 0
Prázdná množina není stejná věc jako “nic”; to je soubor s ničím v tom, a soubor je něco. Toto často působí těžkost mezi ty kdo nejprve se setkat s tím. To může pramenit, z části, od mezery mezi intuitivními strukturami, které jsou obecně modelovány soubory, takový jako hromady objektů a formální definice souboru. Například, my bychom nemluvili o “hromadě mís nuly”, přesto my chceme šťastně mluvit o “souboru elementů nuly”, prázdná množina. To může pak být užitečné myslet na soubor jako taška obsahovat jeho elementy; prázdný pytel může být prázdný, ale to jistě existuje. Někteří lidé se zarazí nad prvním vlastnictvím shora uvedený, že prázdná množina je podmnožina nějakého souboru . Definicí podmnožiny, tento požadavek znamená to pro každý element x {}, x patří k . Protože “každý” je silné slovo, my intuitivně očekáváme, že to musí být nutné objevit mnoho elementy {} to také patřit k , ale samozřejmě, my nemůžeme najít některého elementy {}, období. Tak vy byste mohli myslet si, že {} je ne podmnožina nakonec. Ale ve skutečnosti, “každý” je ne silné slovo vůbec když to se objeví ve výrazu “každý element {}”. Protože tam být ne elementy {}, “každý element {}” dělá ne vlastně odkazovat se na něco, tak nějaké sdělení, které začne “pro každý element {}” nedělá si nějaký podstatný nárok; to je duchaprázdná pravda. Toto je často parafrázováno jak “všechno je pravdivé prvků prázdné množiny”. Axiomatická teorie množin
V axiomatization teorie množin známý jak Zermelo-Fraenkel teorie množin, existence prázdné množiny je jistá axiómem prázdné množiny. Jedinečnost prázdné množiny vyplývá z axióma extensionality.
Zatímco prázdná množina je standard a všeobecně přijímané pojetí v matematice, tam jsou ti kdo ještě mít pochybnosti.
Jonathan Lowe dohadoval se o té chvíli nápad “byl nepochybně důležitý mezník v minulosti matematiky,.. my bychom neměli předpokládat, že jeho pomůcka ve výpočtu je závislá na jeho vlastně naznačovat některé namítat”. To není jasné, že takový nápad dává smysl. “celá ta my jsme vždy informovaní o prázdné množině je že to je (1) soubor, (2) má žádné členy, a (3) je jedinečný mezi nastává mít žádné členy. Nicméně, tam je velmi mnoho věcí to ' mít žádné členy , v souboru-teoretický smysl a mdash; jmenovitě, celý non-soubory. To je dokonale jasné proč tyto věci mají žádné členy, pro oni nejsou soubory. Co je nejasné je jak tam moci být, jedinečně mezi soubory, soubor který má žádné členy. My nemůžeme vyčarovat takový entita do existence pouhým stanovením”.
V “být je být hodnota proměnné …”, žurnál filozofie, 1984 (dotisknutý v jeho rezervovat Logiku, logiku a logiku), pozdní George Boolos argumentoval, že my můžeme jít dlouhá cesta jen tím, že počítá plurally přes jednotlivce, bez reifying souborů jako pozoruhodné entity mít jiné entity jako členy.
V nedávné knize Tom Mckay disparaged “singularist” předpoklad, že přirozený používání výrazů plurals moci být analyzován používat množné náhrady, takový jako znamení pro soubory. On zastává se anti-singularist teorie, která se liší od teorie množin v tom není tam žádná obdoba prázdné množiny a tam je jen jeden vztah, mezi, to je obdoba jak členství tak vztahu podmnožiny.
Operace vykonávané na prázdné množině (jako soubor věcí být provozován na) moci také být matoucí. (takové operace jsou nullary operace.) například, součet prvků prázdné množiny je nulaale produkt prvků prázdné množiny je jeden (viz prázdný produkt). Toto může vypadat zvláštní od té doby, co nejsou tam žádné prvky prázdné množiny, tak jak mohlo by to vadit zda oni jsou sčítal nebo násobil (protože “oni” neexistují)? Nakonec, výsledky těchto operací říkají více o operaci v pochybnost než o prázdné množině. Například, upozornění ta nula je element identity pro sčítání a jeden je element identity pro násobení.
To bylo zmíněno dříve že prázdná množina má nulové elementy, nebo že jeho mohutnost je nulová. Spojení mezi dvěma pojetími jde ještě více nicméně: ve standardu soubor-teoretická definice přirozených čísel, nula je definovaná jako prázdná množina.
Jestliže je soubor, pak tam existuje přesně jedna funkce f od {} k , prázdná funkce. Jako výsledek, prázdná množina je jedinečný parafovat objekt kategorie souborů a funkcí.
Prázdná množina může být obrácená do prostoru topological ve správné jedné cestě (tím, že definuje prázdnou množinu být otevřený); tento prázdný topological prostor je jedinečný počáteční objekt v kategorii topological prostorů s nepřetržitými mapami.