Entscheidungsproblem

(Němec: problém rozhodnutí) je výzva v symbolické logice najít generálovi algoritmus který se rozhodne pro daný nejprve-objednat sdělení zda oni jsou všeobecně platní nebo ne. Alonzo kostel a nezávisle Alan Turing ukázaný v 1936 že toto je nemožné. Jako důsledek, to je zvláště nemožný algorithmically se rozhodnout zda sdělení v aritmetice jsou pravdivá nebo nepravdivá.

Otázka se vrátí k Gottfried Leibniz, kdo v sedmnáctém století, poté, co budoval úspěšný mechanický počítací stroj, snil o stavbě stroj, který mohl manipulovat se symboly aby určil pravdivé hodnoty matematických sdělení. On si uvědomil, že první krok by musel být čistý formální jazyk, a hodně z jeho následující práce byl nasměrovaný k tomu cíli. V 1928, David Hilbert a Wilhelm Ackermann pózoval otázka ve formě nastínila nahoře.

Nejprve-provozní odpočet je volán “všeobecně platný” nebo “logicky platný” jestliže to vyplývá z axiómů nejprve-objednávat počet predikátu. Gödel úplnost teorém říká, že sdělení je všeobecně platné v tomto smyslu jestliže a jediný jestliže to je pravdivé v každém výkladu rovnice v modelu.

Předtím otázka mohla být odpověděl, ponětí o “algoritmu” muselo být formálně definovaný. Toto bylo děláno Alonzo kostelem v 1936 s představou o “efektivních calculability” založený na jeho lambda počtu a Alan Turing ve stejném roku se jeho pojetím Turing strojů. Dva přístupy jsou rovnocenné, příklad Kostel-Turing teze.

Záporná odpověď k Entscheidungsproblem byl pak dán Alonzem Churchem v 1936 a nezávisle krátce potom Alan Turing, také v 1936. Kostel dokázal, že není tam žádný algoritmus (definovaný přes rekurzivní funkce) který se rozhodne pro dva dané lambda početní výrazy zda oni jsou rovnocenní nebo ne. On se spoléhal těžce na časnější práci Kleene. Turing sesadil problém na váhavý problém pro Turing stroje a jeho papír je obecně zvažován být hodně vlivnější než kostel je. Práce obou autorů byla těžce ovlivňována Kurt Gödel' s časnější práce na jeho incompleteness teorému, obzvláště metodou přiřazení čísel k logickým rovnicím aby sesadil logiku na aritmetiku.

Turing hádka následuje. Předpokládat, že my jsme měli generála algoritmus rozhodnutí pro logiku triangulace prvního řádu. Otázka zda daný Turing stroj zastaví se nebo ne moci být vytvořen jak nejprve-provozní odpočet, který by pak byl citlivý na algoritmus rozhodnutí. Ale Turing ukázal se dříve že žádný obecný algoritmus může rozhodnout se zda daný Turing stroj zastaví se.

To je důležité pochopit to jestliže my omezíme sebe k přesný nejprve-objednávat teorii se specifikovanými objektovými konstantami, konstantami funkce, predikátovýma konstantami a podřízenými axiómy, pravda ve sděleních v té teorii může velmi dobře být algorithmically decidable. Příklad tohoto je dán Presburger aritmetikou.

Nicméně, generál nejprve-objednat teorie přirozených čísel vyjadřovala v Peano axiómy nemohou být rozhodnuty s takový algoritmus. Toto také vyplývá z Turing argumentu daný nahoře.

• Alonzo Church, “neřešitelný problém základní teorie čísel”, americký žurnál matematiky, 58 (1936), pp 345 - 363
• Alonzo Church, “poznámka na Entscheidungsproblem”, žurnál symbolické logiky, 1 (1936), pp 40 - 41.
• Alan Turing, “na vypočitatelných číslech, s použitím na Entscheidungsproblem”, soudní řízení Londýna matematická společnost, série 2, 42 (1936), 230 pp-265. Online verze. Errata objevil se v sériích 2, 43 (1937), 544 pp-546.