Vztah rovnocennosti
V matematice, vztah rovnocennosti na souboru X je binární relace na X to je reflexivní, symmetric a tranzitivní, tj., jestliže vztah je psán jak ~ to drží pro všechny , b a c v X to
- (Reflexivity) ~
- (Symetrie) jestliže ~ b pak b ~
- (Transitivity) jestliže ~ b a b ~ c pak \ ~ c
| Tabulka s obsahem |
| 1 příklady vztahů rovnocennosti 2 příklady vztahů, které nejsou equivalences 3 rozdělování do tříd rovnocennosti 4 tvořit vztahy rovnocennosti 5 obyčejných pojmů v elementech Euclida |
- rovnost (“=”) vztah mezi reálnými čísly nebo soubory.
- Vztah “je shodný k (modulo 5)” mezi celými čísly.
- Vztah “je podobný k” na souboru všech trojúhelníků.
- Vztah “má stejné narozeniny jak” na souboru všech lidí.
- Vztah logické rovnocennosti na sděleních v nejprve-objednávat logiku.
- Vztah “ isomorphic k” na modelech souboru vět.
Příklady vztahů, které nejsou equivalences
- Vztah “a ge;” mezi reálnými čísly je ne vztah rovnocennosti, protože ačkoli to je reflexivní a tranzitivní, to není symmetric. E.g. 7 a ge; 5 neznamená, že 5 a ge; 7!
- Vztah “má společného činitele s” mezi přirozenými čísly je ne vztah rovnocennosti, protože ačkoli to je reflexivní a symmetric, to není tranzitivní (2 a 6 mít společný dělitel, a 6 a 3 mít společný dělitel, ale 2 a 3 nemají společného činitele).
- Prázdný vztah R na non-se vyprázdnit soubor X (tj. R b je nikdy pravdivý) je ne vztah rovnocennosti, protože ačkoli to je vacuously symmetric a tranzitivní, to není reflexivní (kromě když X je také prázdný).
- Vztah “je přibližně rovnat se” mezi reálnými čísly nebo jinými věcmi, dokonce jestliže více přesně definovaný, je ne vztah rovnocennosti, protože ačkoli to je reflexivní a symmetric, to není tranzitivní (to může vypadat tak na první pohled, ale mnoho malých změn může se sečíst k velké změně).
Rozdělování do tříd rovnocennosti
Každý vztah rovnocennosti na X definuje rozdělení X do podmnožin volal třídy rovnocennosti: všechny elementy ekvivalentní ke každému jiný být dán do jedné třídy. Naopak, jestliže soubor X moci být rozdělen do podmnožin, pak my můžeme definovat vztah rovnocennosti ~ na X pravidlem” ~ b jestliže a jediný jestliže a b ležet ve stejné podmnožině”.
Například, jestliže G je skupina a H je podskupina G, pak my můžeme definovat vztah rovnocennosti ~ na G psaním ~ b jestliže a jen když ab-1 leží v H. Třídy rovnocennosti tohoto vztahu jsou pravé cosets H v G.
Jestliže vztah rovnocennosti ~ na X je dáván, pak soubor všech jeho třídy rovnocennosti je soubor kvocientu X ~ a je označován X/ ~. Tvořit vztahy rovnocennosti
Jestliže dva vztahy rovnocennosti přes soubor X být dáván, pak jejich křižovatka (hleděl jako podmnožiny X×X) je také vztah rovnocennosti. Toto počítá s příhodným způsobem, jak definovat vztahy rovnocennosti: daný nějaká binární relace R na X, vztah rovnocennosti vytvořený R je nejmenší rovnocennost vztah obsahovat R.
Konkrétně, vztah rovnocennosti ~ vytvořený R moci být popisován takto: ~ b jestliže a jediný jestliže tam existovat elementy x1, x2,...,xn v X takový to x1 = , xn = b a takový to (xi,xi+ 1) nebo (xi+ 1,xi) je v R pro každý i = 1,...,n- 1.
Si všimnout toho výsledná rovnocennost vztah může často být triviální! Například, vztah rovnocennosti ~ vytvořený binární relací má přesně jedna rovnocennost třídu: x~y pro všechny x a y. Více obecně, vztah rovnocennosti bude vždy být triviální když vytvořený na vztahu R mít “antisymmetric” vlastnost to, daný některý x a y, jeden x R y nebo y R x muset být pravdivý.
V topologii, jestliže X je prostor topological a ~ je vztah rovnocennosti na X, pak my můžeme otočit soubor kvocientu X/ ~ do prostoru topological v přirozeném způsobu. Viďte prostor kvocientu pro podrobnosti.
Jeden často tvoří vztahy rovnocennosti k rychle budovat nové prostory tím, že “slepí věci”. Zvážit to například čtverec X = [0, 1] x [0, 1] a vztah rovnocennosti na X vytvořený požadavky (, 0) ~ (, 1) pro všechny v [0, 1] a (0,b) ~ (1,b) pro všechny b v [0, 1]. Pak prostor kvocientu X/ ~ moci být přirozeně identifikoval se s torus: vzít čtvercový kus papíru, ohnout to slepit horní a nižší okraj, pak ohnout výsledný válec slepit dvě ústa.
Obyčejné pojmy v elementech Euclida
První osoba, která představila myšlenku na vztahy rovnocennosti je Euclid v jeho knize Elementy dolů obyčejné pojmy.
Obyčejný pojem 1. Věci, které se rovnají stejné věci také se rovnají jednomu jiný.
Nowadays, binární relace je nazývána Euclidean jestliže to uspokojí tuto vlastnost.
Bohužel, on se nezmínil o symetrii nebo reflexitivity. Ale toto navrhne alternativní formulaci: Vztah rovnocennosti je vztah, který je Euclidean, symmetric a reflexivní.