Erlangen program
Vlivný výzkumný program a manifest byli vydáváni v 1872 Felix Klein, pod titulem Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Tento Erlanger program (Klein v době byl u Erlangen) navrhoval nový druh řešení problémů geometrie času.Byl tam jeden ' geometrie ' nebo mnoho? Od Euclida, geometrie znamenala geometrii Euclidean prostoru dvou rozměrů (planimetrie) nebo tří rozměrů (prostorová geometrie). V první polovině devatenáctého století tam bylo několik vývojů komplikovat obraz. Matematické aplikace vyžadovaly geometrii čtyři nebo více rozměrů; blízká kontrola založení tradiční Euclidean geometrie odhalila nezávislost axióma protějšku od jiní, a non-Euclidean geometrie byl narozen; a v geometrii projective nový ' body (u infinity, s komplexem se sladí) byl představen.
Řešení v abstraktních termínech mělo používat symetrii jako základní princip, a ke státu nejprve ten různý geometries mohl koexistovat, protože oni se zabývali různými druhy problémů a invariances příbuzného různým druhům symetrie a transformace. Rozdíl mezi affine geometrií a geometrií projective leží právě ve skutečnosti, že affine-neměnné pojmy takový jako podobnost být pořádná podstata první, zatímco ne být hlavní názory ve vteřině. Pak, tím, že odstraní základové groupss symetrií od geometries, vztahy mezi nimi mohou být obnoveny na skupinové úrovni. Od skupiny affine geometrie je podskupina skupiny geometrie projective, nějaký pojem neměnný v geometrii projective je priori významný v geometrii affine; ale ne jiná cesta dokola. Jestliže vy přidáte požadované symetrie, vy máte silnější teorii ale méně představy a teorémy (který bude ačkoli být hlubší a obecnější).
Jinými slovy, “tradiční prostory” jsou homogenní prostory; ale ne pro jedinečně určovala skupina. Měnící se skupina mění vhodný geometrický jazyk.
V dnešním jazyce, zainteresované skupiny v klasické geometrii jsou všichni velmi známí jako Skupiny lži. Specifické vztahy jsou docela jednoduše popisované v technickém jazyce.
Například skupina geometrie projective v n rozměry je skupina symetrie n- rozměrný projective prostor (maticová skupina velikosti n + 1, quotiented skalárním matrices). affine skupina bude podskupina respektovat (mapování k sobě, ne opravovat pointwise) volený hyperplane u infinity. Tato podskupina má známou strukturu (produkt semidirect maticové skupiny velikosti n s podskupinou translationss). Tento popis pak řekne použití které vlastnosti jsou ' affine '. V Euclidean požadavky planimetrie, být rovnoběžník je: affine transformace vždy vezmou jeden rovnoběžník k jinému jeden. Být kruh není, od affine stříhat vezme kruh do elipsy.
Vysvětlit to přesně vztah mezi affine a Euclidean geometrií, my teď potřebujeme nutit skupinu Euclidean geometrie uvnitř skupiny affine. To je ve skutečnosti (používat předchozí popis skupiny affine) polopřímý produkt orthogonal (rotace a odraz) seskupí se s překlady.
Dlouhodobé účinky Erlangen programu mohou být viděny všude po čisté matematice (vidět tiché použití u shodnost (geometrie), například); a myšlenka na transformace a syntézy používat skupiny symetrie je samozřejmě nyní standardní příliš v fyzice.
Když topologie je stále popsal v podmínkách vlastností neměnný dolů homeomorphism, jeden může vidět základový nápad v provozu. Zahrnuté skupiny budou nekonečné-rozměrný v téměř všechny případy - a ne Skupiny lži - ale filozofie je stejná. Samozřejmě toto většinou mluví s pedagogickým vlivem Kleina. Knihy takový jako ti H.S.M. Coxeter stále používal Erlangen programový přístup k nápovědě ' místo ' geometries.
Potenciální kritika Erlanger programu
Docela často, to vypadá jsou tam dva nebo zřetelnější geometries s isomorphic automorphism se seskupí. Jen aby vzal si náhodný příklad, orientovaný (tj. odrazy nezahrnutý) elliptic geometrie (tj. povrch n-koule se body opaku identifikovala) a orientovaný sférická geometrie (stejný geometrie nonEuclidean, ale se body opaku ne identifikoval) isomorphic automorphism skupinu, Tak (n + 1) pro dokonce n, ale oni vypadají, že je zřetelný. Nicméně, to dopadá oba geometries jsou velmi blízko příbuzné v přesném způsobu.
Vzít si ještě jeden příklad, elliptic geometries s různými poloměry zakřivení isomorphic automorphism se seskupí, ale to opravdu se nepočítá jako posudek jako všichni takové geometries isomorphic.
Nyní tady přijde některé zajímavé příklady:
- n-rozměrný hyperbolická geometrie, n-rozměrný de Sitter prostor a n-1 rozměrný geometrie inversive všichni mají isomorphic automorphism skupiny,, orthochronous Lorentz skupina, pro n > = 3. Ale oni jsou všichni velmi zřetelné geometries, pravý? Dobře, tady je kde některé velmi zajímavé výsledky přijdou od fyziky. To bylo ukázané ta fyzika modeluje z každého tří geometries být”dvojí” pro některé modely!
- n-rozměrný anti de Sitter prostor a n-1 rozměrný conformal prostor s “Lorentzian” podpisem (kontrastovat s tím s conformal prostorem s “Euclidean” podpisem, který je totožný s geometrií inversive, pro 3 rozměry nebo větší) isomorphic automorphism skupiny, ale jsou zřetelné geometries, pravý? Jakmile znovu, tam jsou modely ve fyzice s”duality” mezi oběma prostory. Vidí inzeráty/CFT pro další podrobnosti.