Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Euclidovy elementy

Euclid je je matematické pojednání, sestávat z 13 knih, napsaný Řekem matematik Euclid kolem 300 BC. Elementy je sbírka definic, postuláty a důkazy od Euclidean geometrie, pojmenoval podle Euclida.

Euclid založil jeho práci na 23 definicích, takový jako bod, linka a povrch, pět postulátů a pět “obyčejné pojmy” (dnes oni jsou nazýváni axiómy).

Postuláty:

  1. Kreslit rovnou čáru od nějakého důvodu k některému jiný.
  2. To produkuje konečnou přímku nepřetržitě v rovné řadě.
  3. To popisuje kruh s nějakým centrem a poloměrem.
  4. Že všichni spraví úhly být se rovnat ke každému jiný.
  5. To, jestliže přímka padat na dvě přímky dělají vnitřní úhly na stejné straně méně než dva pravé úhly, dvě linky, jestliže produkoval indefinitely, setkat se na té straně na kterém jsou úhly méně než dva pravé úhly.

Axiómy:

  1. Věci, které se rovnají stejné věci jsou stejné s jedním jiný.
  2. Jestliže se rovná být zvětšen se rovná, pak součty jsou se rovnat.
  3. Jestliže se rovná být odečten od se rovná, pak remainders být se rovnat.
  4. Věci, které splývají spolu navzájem být stejný s jedním jiný.
  5. Celek je větší než část.

Tato základní pravidla odrážejí konstruktivní geometrii Euclid, spolu s jeho současnými Řeky, byl zaujat v. První tři postuláty v podstatě popisují stavby jeden může provádět s kompasem a neoznačený straightedge nebo pravítko.

Tabulka s obsahem
1 úspěch
2 historie
3 kritika
4 obsah
5 vnějšího spojení

Úspěch

Úspěch Elementů je očekávaný primárně k jeho logické prezentaci hodně z matematických znalostí dostupných Euclidovi. Většina z materiálu není originál k němu, ačkoli nemnoho důkazů být jeho. (ověřit?) jeho systematický vývoj z malého souboru axiómů k hlubokým výsledkům povzbudil jeho použití jako učebnice pro stovky roků, a ještě ovlivňovat moderní geometrii knihy. Matematik Zvonek Erica Templea dělal nezvyklé přirovnání mezi Euclidem a profesi Amerického západu: “kovboji mají způsob, jak svázat vola nebo bojovného divokého koně, který opraví hovado tak to to může žádný pohybovat se ani myslet. Toto je prase-vázanka, a to je co Euclid způsoboval geometrii.”

Pět postulátů Euclid používal, poslední, takzvaný”vyrovnat se postulátu” vypadá méně zřejmý než jiní. Mnoho geometrů snažilo se marně se ukázat jako to od nich. Střední -19. století, to bylo ukazováno to žádný takový důkaz existuje, protože jeden může postavit non-Euclidean geometries kde paralelní postulát je falešný, zatímco jiné postuláty zůstanou pravdivé. Matematici říkají, že paralelní postulát je nezávislý jiných postulátů. Dvě alternativy jsou možné: jeden nekonečný počet souběžných řad může být natažený přes bod ne na rovném řádku (hyperbolická geometrie, také volal Lobachevskian geometrie), nebo žádný může (elliptic geometrie, také volal Riemannian geometrii). Že jiný geometries mohl být logicky shodný byl jeden z nejdůležitějších objevů v matematice, s obrovskými důsledky pro vědu a filozofii. Opravdu, Einstein' s teorie obecné relativnosti ukazuje to “skutečný” prostor ve kterém my živě můžeme být non-Euclidean. To Euclid rozpoznal nezávislost paralelního postulátu dlouho předtím, než jiní matematici připustili, že to je doklad Euclidova věnování k logickému vývoji od jako nemnoho předpokladů jak možný.

Historie

Elementy byly zapsány přibližně 300 BC Euclid, starověký řecký matematik, který pravděpodobně studoval u žáků Plata. To bylo přeloženo později do arabštiny poté, co byl nadaný k Arabům Byzantium a od těch druhotných překladů do latiny. Kopie řeckého textu také existují, eg v Vatican knihovně a Bodlean knihovně v Oxfordu. Nicméně, dostupné rukopisy jsou velmi proměnlivé kvality a trvale neúplný. Opatrnou analýzou překladů a originálů, hypotézy byly natažené o obsahu původního textu (kopie kterého jsou už ne dostupné). Texty, které se odkazují na elementy sám a matematické teorie, které byly aktuální v době to bylo psáno být také důležitý v tomto procesu. Takové analýzy jsou řízeny J.L. Heiberg a sir Thomas L. Heath v jejich překladech textu.

Také důležitosti být scholia nebo poznámky k textu. Tato sčítání, to často rozlišovalo sebe od hlavního textu (se spoléhat na rukopis), postupně nahromaděný v průběhu doby jak názory měněné na čem byly hodné vysvětlení nebo objasnění. Někteří tito jsou užiteční a se přidávají k textu, ale mnoho být ne.

To je silně tušila ta kniha XIII byl zvětšen jiní někdy později.

Kritika

Jedna kritika, která vyvstávala jak matematici vyšetřovali Euclidův systém je to Euclid pět axiómů je neúplné, znamenat, že oni jsou nedostateční dosáhnout výsledků jeden by rád byl pravdivý ve Euclidean geometrii. Euclid učinil některé skryté předpoklady, který byl dělán explicitní pozdnějšíma matematiky. Například, jeden z jeho teorémů je že nějaká úsečka je část trojúhelníku, který on postaví v obvyklé cestě, tím, že kreslí kruhy kolem obou koncových bodů a brát jejich křižovatku a je jako tři rohy. Nicméně, jeho axiómy negarantují, že kruhy vlastně dělat protínat. David Hilbert dával revidovaný seznam obsahovat ne méně než 23 oddělených axiómů. Jak Gödel dokázaný, všechny axiomatické systémy -- kromě úplně nejjednodušší -- být jeden neúplný nebo popřít sebe, a toto je žádná výjimka.

Obsah

Ačkoli Elementy je geometrická práce, to také zahrnuje výsledky, které dnes by byly klasifikované jako teorie čísel. Obsahy práce jsou takto:

Knihy 1 přes 4 se zabývat planimetrií:

Knihy 5 přes 10 představit poměry a proporce:

Knihy 11 přes 13 dohody s prostorovou geometrií:

Vnější spojení