Euclidean geometrie

Euclidean geometrie, také volal”byt” nebo”parabolický” geometrie, je pojmenoval podle Řeckého matematika Euclid. Euclidův text Elementy je časná systematická léčba tohoto druhu geometrie, založený na axiómech (nebo postuláty). Toto je druh geometrie známé většině lidem od té doby, co to je druh obvykle učil v střední škole.

Tento systém je axiomatický systém, který doufal, že se ukáže jako všechna “opravdová sdělení” jak teorémy v geometrii od souboru konečného množství axiómů.

Pět postuláty/axiómy Euclidean systému jsou:

Některý dva body mohou být spojené přímkou.
Nějaká rovná úsečka může být rozšířena indefinitely v rovné řadě.
Daný nějaká rovná úsečka, kruh může být kreslen mít segment jako poloměr a jeden koncový bod jako centrum.
Všechny pravé úhly jsou shodné.
Jestliže dvě linky jsou kresleny který protínat třetinu v takový cesta to suma vnitřních úhlů na jedné straně je méně než dva pravé úhly, pak dvě linky nevyhnutelně musí protínat každého jiný na té straně jestliže prodloužený daleko dost. Tento postulát je ekvivalentní k čemu je známý jako paralelní postulát.

Euclidean geometrie je rozlišována od jiných geometries paralelním postulátem, který je více snadno formulovaný takto

Přes bod ne na dané přímce, jeden a jediný jedna linka může být kreslena to nikdy se setká s danou linkou.

Paralelní postulát byl předmět hlubokého tvrzení mezi moderní matematiky uprostřed roky. Mnoho matematiků, argumentoval, že pátý postulát byl nadměrný, a mohl být odvozen nezávisle na prvních čtyřech postulátech. Oni pokusili se dokázat tento fakt “ne předpokládat” postulát k držení pravdivý, a zkusit a přijít k tomuto postulátu jak teorému prostředky k odvozovacím pravidlům osamocený. O

Jiní matematici navrhovali že sdělení bylo opravdu postulát, a pokusil se ukázat se jako jejich návrhy, tím, že “neguje postulát” (volat negaci ne P) jako axióm, doufat, že přijde k rozporu. Jestliže rozpor je dosáhl s Y, známý teorém, (předtím odvodil od jiných postulátů) ie: jestliže to vede k situaci - Y a ne Y, nebo jestliže rozpor je dosáhl přímo s přijal ne P ie: jestliže my přijdeme k P a ne P, toto by znamenalo to předpoklad o negaci P byl špatně (Důkaz rozporem), a od této doby paralelní postulát potřebuje být “přijal být pravdivý”.

Nicméně, obě frakce matematiků byly dupal v jejich úsilích dosáhnout určité odpovědi k otázce “zda paralelní postulát je axióm geometrie”. Disbelievers, mohl ne úspěšně dokázat, že to není. Žádný mohl by believers přijít k rozporu, tím, že zruší to. Zvědavě, nicméně, tím, že zruší pátý postulát různými způsoby, oni rozšířili geometrii reprezentovat non-rovinné vesmíry. (vidět Non-Euclidean geometrie pro další vysvětlení)

Zvláště, tento postulát oddělí Euclidean geometrii od hyperbolické geometrie, kde mnoho rovnoběžek mohlo být natažené přes bod, a od elliptic a geometrie projective, kde žádné rovnoběžky existují. (Euclidean geometrie dělá, nicméně, rozdělit paralelní postulát s některými jinými geometries, takový jak jistý konečné geometries a affine geometrie.)

Protože Euclid má čas, jiní matematici vyložili důkladnější axiomatické systémy pro Euclidean geometrii, takový jako David Hilbert a George Birkhoff.

Moderní pojetí Euclidean geometrie

Dnes Euclidean geometrie je obvykle budována poněkud než axiomatized, prostředky k analytické geometrii. Obdelníkový souřadnicová soustava mapy každý bod v Euclidean prostoru s jedinečným seznamem n reálná čísla (x₁,...,x_n), tak my můžeme definovat to být soubor všech takových seznamů (Rⁿ). My také vymezíme metrický (funkce vzdálenosti) d

který vy byste mohli rozpoznat jako aplikace Pythagorean teoréma (vidět také Euclidean vzdálenost). Toto se otočí Rⁿ do metrického prostoru. Mapy to chránit vzdálenost mezi všemi páry bodů jsou volány isometries, a zahrnovat odrazy, rotace, translationssa thereof složení. V maticové notaci některý tito mají tvar

kde je matice orthogonal a b je sloupec vektor. Isometries je vzat jako congruencess Euclidean geometrie - to je, my jen zvažujeme majetky šetřené jimi. Ta cesta my nemusíme bát se o přesný původ nebo osy, ale ještě zvažovat vzdálenosti, se natočí, a tak dále.

Viz též: