Euclidean prostor
Euclidean prostor je obvyklý n- rozměrný matematický prostor, zevšeobecňování 2 - a 3-dimenzionální prostory studovaly Euclid. Formálně, pro nějaký non-negativní celé číslo n, n- rozměrný Euclidean prostor je soubor Rn (kde R je soubor reálných čísel) spolu s funkcí vzdálenosti trval tím, že definuje vzdálenost mezi dvěma body (x1,..., xn) a (y1,...,yn) být druhá odmocnina a Sigma; (xi-yi)2, kde součet je u konce i = 1,..., n. Tato funkce vzdálenosti je založená na Pythagorean teorému a je nazvaná Euclidean metrický.Termín”n- rozměrný Euclidean prostor” je obvykle zkrácen k “Euclidean n- prostor”, nebo dokonce spravedlivý”n- prostor”. Euclidean n- prostor je označován E n, ačkoli Rn je také používán (s metrické bytí rozumělo). E 2 je nazýván Euclidean letadlem.
Samozřejmě, E n je metrický prostor, a je proto také prostor topological. To je typický příklad n-různý, a je ve skutečnosti differentiable n- různý. Pro n a ne; 4, nějaké differentiable n- různý to je homeomorphic k E n je také diffeomorphic k tomu. Překvapující skutečnost, že toto není také pravdivé pro n = 4 byl dokázaný Simon Donaldson v roce 1982; counterexamples jsou volány exotický (nebo falešný) 4-prostory.
Hodně mohl být říkán o topologii E n, ale to bude muset čekat do pozdnější revize tohoto článku. Jeden důležitý výsledek, Brouwer' s invariance domény, je to nějaká podmnožina E n který je homeomorphic k otevřené podmnožině E n je sám otevřený. Bezprostřední důsledek tohoto je to E m homeomorphic k E n jestliže m a ne; n -- intuitivně “zřejmý” výsledek, který je nicméně nesnadný ukázat se jako.
Euclidean n- prostor může také být zvažován jak n- rozměrný skutečný vektorový prostor, ve skutečnosti Hilbert prostor, v přirozené cestě. skalární součin x = (x1,...,xn) a y = (y1,...,yn) je dáván
- x · y = x1y1 +... + xnyn.